Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015
Рис. 4.2. Функция распределения F(x)
Рис. 4.3. Плотность распределения непрерывной случайной величины f (x)
Напоминание. Производная и интеграл
Выше нам пришлось использовать некоторые сведения из математического анализа. Если у вас не возникло вопросов и вы помните, что такое производная функции и интеграл, то можете пропустить это напоминание. В противном случае слегка напрягитесь.
Производная. Рассмотрим следующий пример. Пусть перед вами график продаж некоторой продукции (рис. 4.4).
Предположим, что вы анализируете ситуацию за первые полгода. Если бы Вы смотрели только на число продаж, то ход кривой вас только бы радовал. Число продаж неуклонно растет! Но проведем более подробный анализ. Посчитаем, насколько каждый месяц возрастает число продаж. Для этого будем считать следующие величины: число продаж за февраль минус число продаж за январь, число продаж за март минус число продаж за февраль чис-
36
ло продаж за апрель минус число продаж за март и т.д. Если эти
разности разделить на месяц, то получим скорость продаж − количество проданной продукции за единицу времени (за месяц). Пунктирная кривая показывает, как меняется скорость продаж. Из рисунка видно, что скорость продаж падает, то есть количество продаж каждый месяц растет всё медленнее и медленнее. В августе скорость продаж равна нулю, т.е. продали столько же сколько и в июле, а, начиная с сентября и до конца года, каждый месяц количество продаж уменьшается. Так вот, если число продаж − это функция, то скорость продаж − ее производная. Очевидно, знание производной весьма полезно.
Рис. 4.4. Число и скорость продаж
В математическом плане понятие производной можно ввести следующим образом. Пусть y = f (x) есть непрерывная функция
(т.е. мы можем нарисовать график функции, не отрывая ручки от бумаги) на интервале (a, b). Пусть x − какая-нибудь точка этого
промежутка, тогда значение функции в этой точке есть y = f (x).
Дадим аргументу малое приращение x , тогда в точке x = x + x функция будет иметь значение f (x + x). Приращение функции
есть y = f (x + x) − f (x). Если соединить две точки A и B на гра-
фике функции (рис. 4.5), то получим прямую, пересекающую график.
37
Рис. 4.5. Геометрический смысл производной
Представим теперь, что точка B приближается к точке A, двигаясь вдоль кривой ( x всё время уменьшается). Нетрудно понять, что секущая «стремится» занять положение касательной к кривой в точке A . Рассмотрим теперь, как меняется отношение
y |
= |
f (x + |
x) − f (x) |
. Из рисунка видно, что при x → 0 прираще- |
x |
|
x |
||
|
|
|
ние функции также стремится к нулю: y → 0. То есть числитель
и знаменатель дроби стремятся к нулю, а их отношение − к некоторой постоянной величине. На первый взгляд, это странно. Но вот простой пример. Допустим, вы разрезали яблоко пополам, затем половинку еще пополам и т.д. При этом вы взвешиваете каждый кусочек и делите полученную массу на объем кусочка (определяете плотность яблока). Понятно, что какой бы малый кусочек вы ни взяли, плотность у него есть, и вполне определенная! Этот пример поясняет также, почему существует конечная сумма бесконечно убывающей прогрессии. Действительно, последовательно разрезая яблоко объемом V , получаем бесконечно убывающую гео-
метрическую прогрессию V2 + V4 + V8
конечно, но сама сумма V − определенное число (сложили все кусочки яблока и получили целое). В математике предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента при x → 0, называется производной функции
38
|
f (x + x) − f (x) |
= f ′ . |
||
|
|
|||
lim |
x |
|
x |
|
x→0 |
x очень мало, его обозначают |
|||
Вернемся снова к рисунку. Когда |
|
|||
dx . Из рисунка видно, что приращение функции в этом случае можно представить в виде суммы y = tg(α)dx + o( x) , где
o( x) − величина бесконечно малая относительно x . Если этой
величиной пренебречь, то при бесконечно малом приращении аргумента бесконечно малое приращение функции dy = fx′dx . Эта вели-
чина называется дифференциалом функции. Из этого соотношения видно, что производная в точке x численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в этой точке. Отметим, что не всякая непрерывная функция имеет производную во всех точках промежутка. Например, непрерывные функции (рис. 4.6) в точках резкого излома при x = 1 не имеют производных.
Рис. 4.6. Пример непрерывных функций, не имеющих производной в точке x = 1
Таким образом, производная функции характеризует скорость ее изменения. Если взять производную от производной, т.е. вторую
производную |
d |
df |
|
= |
d 2 f |
, то мы найдем скорость изменения |
|
|
|
dx2 |
|||
|
||||||
|
dx dx |
|
|
|||
скорости функции. Физики в этом случае говорят про ускорение и приводят пример из кинематики. Действительно, если x(t) зави-
39
симость координаты вашего движущегося автомобиля от времени, то dxdt = vx (t) − скорость автомобиля (т.е. спидометр вам показывает значение первой производной), а вторая производная от
координаты |
d 2 x |
= |
dv |
x |
= ax |
−- ускорение (когда вы выбирали ав- |
dt 2 |
|
|||||
|
|
dt |
|
|
||
томобиль, то интересовались, за какое время можно набрать скорость 100 км/час, т.е. вас интересовала вторая производная!)
Если функция зависит от нескольких переменных, то предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента называется частной производной по данному аргументу. Например, для функции двух переменных z = f (x, y) это выгля-
дит следующим образом: |
|
|
|
|
|||
|
∂f |
|
= lim |
|
f (x + x, y) − f (x, y) |
; |
|
|
∂x |
|
x |
||||
|
|
x→0 |
|
|
|
||
|
∂f |
|
= lim |
|
f (x, y + y) − f (x, y) |
. |
|
|
∂y |
|
|
||||
|
|
y→0 |
|
y |
|
|
|
Обратите внимание, что в этом случае вместо |
df |
||||
|
|
|
|
dx |
|
писать |
∂f |
. |
Кроме вторых частных производных |
∂ 2 f |
|
∂x |
∂x2 |
||||
|
|
|
|||
рассматривается также смешанная вторая производная
принято
и |
∂ 2 f |
, |
|
∂y 2 |
|||
|
|
∂ 2 f . ∂x∂y
Из физических соображений понятно, что должна существовать процедура «обратная» нахождению производной. Действительно, если, зная зависимость координаты от времени, мы можем найти скорость, то, зная зависимость от времени скорости, сможем найти координату тела. Иначе говоря, если f ′(x) произ-
водная, то можно найти функцию f (x), от которой она была по-
лучена, т.е. найти первообразную. Процесс нахождения функции по ее известной производной называется интегрированием. Мы рассмотрим ниже смысл определенного интеграла.
40