Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Определенный интеграл. Предположим, что некто, продвигая на рынок «высокоинтеллектуальный» заграничный товар, например детские подгузники с крылышками или зубные щетки с абразивным напылением, «заработал» десятки миллионов «бакинских» рублей и решил, наконец, купить себе усадьбу. Конечно, под Москвой, конечно, на берегу водохранилища, конечно, с яхтой и полем для гольфа! (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Усадьба

Наконец, некто нашел подходящий участок и, не веря представленным документам (покупает землю у такого же «бизнесмена»), решил точно определить площадь участка. Если бы участок был прямоугольным – проблем нет. В нашем случае граница с озером не является прямой линией. Подсчитать площадь приближенно можно следующим образом. Разобьем участок вертикальными полосами шириной x = 0,1 км . Длину полосы будет определять граница с

озером на линии полуширины полосы ( x1 = 0,05 ). Например, для крайней левой полосы ее длина составляет величину f (x1) = 0,7 км.

41

дей 10 участков.) Понятно, чем ýже мы брали бы полоску, тем на большее число полосок пришлось бы разбивать участок и тем точнее подсчитали бы площадь. Если существует предел последовательности, S1, S2..., Sn ..., то он называется определенным инте-

гралом S = lim Sn . При этом значок трансформируется в , а

смотренном примере граница участка с озером описывается функцией f (x) = 0,5 + (x − 0,5)2 , тогда площадь участка есть

1

[0,5 + (x − 0,5)2 ] dx = 0,583 км2. Как видите, наше приближенное

0

вычисление почти совпадает с точным значением.

Каверзный вопрос. Иногда на экзамене я задаю следующий вопрос. На рис.(4.8) изображена плотность вероятности некоторой случайной величины. Вероятность появления какого значения случайной величины больше: a, b или c? Комбинации выдавали самые

разные: P(b) > P(c) > P(a) − самый распространенный, выстроенный по убыванию значений f (x) ; P(c) > P(b) > P(a) − выстроенный по убыванию площадей под функцией f (x) и, наконец, P(b) > P(c) P(c) > P(a) , поэтому!!! P(a) = P(c) !!! Понятно, что правильный ответ: P(a) = P(b) = P(c) = 0 .

Рис. 4.8. Каверзный вопрос

42

Лекция 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Ранее мы рассматривали различные формы закона распределения, каждая из которых полностью, с вероятностной точки зрения, характеризует случайную величину:

•для дискретных случайных величин − это ряд распределения P(x) и функция распределения F(x);

•для непрерывных – функция распределения F(x) и плотность распределения f (x).

Однако на практике зачастую интересуются не законом распределения случайной величины, а лишь частными особенностями ее поведения. Например, средним ее значением, степенью разбросанности и т.д.

Числовыми характеристиками случайных величин называют величины, позволяющие в сжатой форме выразить наиболее существенные особенности закона распределения случайной величины. При этом иногда решить поставленную задачу можно, лишь оперируя числовыми характеристиками.

Например, при массовом производстве молодежной женской одежды нет необходимости знать закон распределения прекрасного пола по какому-либо размеру (объему талии), достаточно знать средние габариты для данной категории (70 см) и возмож-

ный средний разброс (± 30 см).

Математическое ожидание, мода, медиана

Пусть имеется дискретная случайная величина X, которая в n опытах приняла следующие значения:

x1 → m1 раз; ….………

xn → mn раз.

Тогда сумма всех значений, принятых случайной величиной X в n независимых опытах есть

x1m1 + ... + xk mk .

43

Допустим, что число испытаний n велико, тогда относительные частоты будут по вероятности сходится к возможности появления

соответствующих значений, т.е. wi → pi . Следовательно,

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины

i=1

где xi – ее возможные значения.

_______________________________________________________

Отступление. Последовательность случайных величин Xn схо-

дится по вероятности к А, если для любого ε > 0 вероятность неравенства Xn − A < ε с увеличением n неограниченно приближается к

единице

lim P( Xn − A < ε) = 1.

n→∞

Давайте, сравним это определение предела последовательности с известным вам из курса математического анализа:

последовательность чисел Xn сходится к A, если для любого ε > 0

найдется такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство

Xn − A < ε.

Существенная разница заключается вот в чем. Классическое определение предела говорит о том, что число A является пределом последова-

тельности Xn , если dы для заданного ε > 0 нашли такой номер N, то для всех n больших, чем N, все члены последовательности Xn «находятся на

расстоянии от предела A менее, чем на это ε». Сходимость же по вероятности допускает, что отдельные значения последовательности Xn

могут «выбрасываться из отрезка Xn − A < ε », но вероятность этого

44

события тем меньше, чем больше n. (Да простят меня математики за это объяснение!)

Анекдот (истинная правда) Принимая экзамен по данному курсу у одного из студентов ИИМ, я на экзаменационном листе увидел фразу «сходится к A по вер.». На мой вопрос: Что значит «по вер.?», я услышал ответ: «по вертикали!»

____________________________________________________

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется как

−∞

Математическое ожидание является неслучайной величиной. Отметим одно важное обстоятельство. Выражение M [X ], с од-

ной стороны, может обозначать число – математическое ожидание случайной величины, а с другой – операцию нахождения математического ожидания от случайной величины X. Здесь ситуация аналогичная производной функции. Действительно, с одной стороны,

df (x) есть производная функции, т.е. некая функция, а с другой − dx

dfdx понимается как операция нахождения производной от функции f (x).

Свойства математического ожидания

1) математическое ожидание постоянной неслучайной величины равно самой этой величине:

2) математическое ожидание от произведения постоянной величины c на случайную величину X равно произведению постоянной на математическое ожидание случайной величины

Доказательство. Для дискретной случайной величины

45