Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

dϕ		2
D[Y ] = D[ϕ(mx )] +	dx	\|x=mx × D[(X − mx )] =
	dx
dϕ		2	].	(9.31)
=	\|x=mx D[X		].	(9.31)
dx
Этот подход легко обобщается, когда Y является функцией многих
переменных
Y = ϕ(X1,..., Xn ).				(9.32)

Тогда функцию Y = ϕ(X1,..., Xn ) также раскладывают в ряд и ограничиваются линейным членом

Y ≈ ϕ(m

,..., m

) +

ϕ′

,..., m

)(X

− m

(9.33)

i=1

Применяя аппарат числовых характеристик, получим

M[Y ] = ϕ(mx ,..., mx

);

(9.34)

dϕ 2

dϕ

D[Y ] =

D[X ] +

Kij

(9.35)

i=1

i< j

K ... K

11 1n

где K = ..............

− корреляционная матрица аргументов.

Kn1... Knn

Если при разложении функции в ряд оставить еще одно слагаемое

dϕ			1 d 2ϕ		( X − mx )2 ,
Y ≈ ϕ(mx ) + dx	\|x=mx	( X − mx ) +	2 dx2	\|x=mx	( X − mx )2 ,	(9.36)

то результаты линеаризации можно уточнить. Действительно, применяя к выражению (9.34) операцию нахождения математического ожидания, получим

M[Y ] = ϕ(mx ) +	1 d 2ϕ	\|x=mx	D[X ].	(9.37)
	2 dx2

Поправка к дисперсии просто выглядит, когда случайная величина распределена по нормальному закону

D[Y ] =

dϕ

D[ X ] +

d 2ϕ

[X ].

x=mx

Возможно, конечно, обобщение данных результатов на многомерный случай, однако формулы в этом случае выглядят очень громоздкими.

Лекция 10. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ

Рассмотренные выше способы получения статистических характеристик функции от случайных аргументов имеют недостатки. Вопервых, они справедливы лишь для линейных функций. Если же функция нелинейная и используется метод линеаризации, то трудно оценить ошибку определения числовых характеристик. Во-вторых, иногда необходимо знать не только числовые характеристики, но и закон распределения функции, знание которого решает все эти проблемы. Действительно, если задана функция Y = ϕ(X ) и известна

плотность распределения случайной величины Y, которую мы обозначим g( y), то числовые характеристики – функции Y = ϕ(X ) −

могут быть найдены из следующих соотношений:

	+∞
	M[Y ] = my =	y g( y)dy;	(10.1)
	−∞
	+∞
	D[Y ] = Dy = ( y − my )2 g( y)dy.		(10.2)
	−∞
Для	определения функции g( y) рассмотрим участок		на	оси
(a, b),	на котором лежат все	возможные значения	X,	т.е.

P(a < X < b) = 1. На рис. 10.1 показан участок монотонно возрастающей функции y = ϕ(x).

Если случайная величина X принимает значение x, то случайная величина Y принимает значение y = ϕ(x). Иными словами, если на

плоскости изобразить случайную точку (X, Y), то она может лежать только на кривой y = ϕ(x).

Рис. 10.1. К выводу закона распределения: а − для монотонно возрастающей функции; б – для монотонно убывающей функции

Обозначим функцию распределения случайной величины Y как G( y) = P(Y < y). Из рис. 10.1,а видно, что случайная величина Y

примет значение меньшее, чем y в том случае, если случайная величина X попадет в интервал (a, x). Это означает, что справедливо соотношение

x
G( y) = P(Y < y) = P(a < X < x) = f (x)dx.	(10.3)

При этом верхний предел интегрирования является функцией от y. Действительно, имея монотонную исходную функцию y = ϕ(x),

можно найти ей обратную, выражающую зависимость x от y, т.е. функцию x = ψ( y), тогда

ψ( y)
G( y) = f (x)dx.	(10.4)

От функции распределения G( y) можно перейти к функции плотности распределения, в соответствии с (4.7) получим

g( y) = dG	= f (ψ( y))	dψ( y)	.	(10.5)

dy		dy

Если функция y =ϕ(x) является монотонно убывающей, как на

рис. 10.1,б, то случайная величина Y примет значение меньшее, чем y в том случае, если случайная величина X попадет в интервал (x, b). Это означает, что справедливо соотношение

G(y) = P(Y < y) = P(x < X < b) = f (x)dx =

f (x)dx.

(10.6)

ψ( y)

Взяв производную по переменному нижнему пределу, получим

g( y) = dG = − f (ψ( y))

dψ( y)

(10.7)

Формулы (10.5) и (10.7) можно объединить в одну:

dψ( y)

g( y) = f (ψ( y))

(10.8)

Действительно,

для

монотонно

возрастающей

функции

dψ( y) > 0,

dψ

= dψ и справедливо соотношение (10.5), для

тогда

монотонно

убывающей

функции

dψ( y) < 0

этом

случае

dψ

= − dψ

и справедливо соотношение (10.7).

Приведем пример определения закона распределения функции от случайных аргументов.

Пример. Найти закон распределения линейной функции Y = a X + b от аргумента, распределенного по нормальному закону.

Решение данной задачи приведено в табл. 10.1, где в левом столбце находятся теоретические зависимости в общем виде, а в

правом − конкретно для данного случая.

Выражение для g( y) можно также записать в следующем виде:

	1				( y − (amx + b))			2
g( y) =	1				( y − (amx + b))					(10.9)
				exp −	2		2		.
	\| a \| σ		2π	exp −	2	σ	2		.
	\| a \| σ	x	2π		2 \| a \|	σ	x
		x					x

Определение закона распределения функции

Таблица 10.1

f (x)

exp{−

(x − mx )

}

σx

2π

2σ2x

y = f (x)

y = a x + b

x = ψ( y)

x =

y − b

ψ′( y)

| ψ′( y) |

| a |

g( y) = f (ψ( y)) | ψ′( y) |

y − b

− mx

g( y) =

exp

{−

}

| a |

σx 2π

2σ2x

Из выражения (10.9) видно, что

g( y) представляет

собой

плотность распределения случайной величины с нормальным законом распределения с параметрами

my = a mx + b; σ y =| a | σx .

Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть имеется система двух случайных величин (X , Y ) с плотностью распределения f (x, y) и случайная величина Z, связанная с

(X , Y ) функциональной зависимостью Z = ϕ(X , Y ).	Требуется
определить закон распределения случайной величины Z.
Как следует из рис. 10.2,
G(z) = P((X ,Y ) D) = f (x, y) dxdy.	(10.10)
D( z)

Источник: https://studfile.net/preview/16708854/

Смотрите также:

_1966(~1
"Логистическая технология JIT"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«Дизайнерские дети» как профилактика инвалидизации общества
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа
[2 курс] Определения
00438
00463
05_ПЗ
1 Аминокислоты. Белки