Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 10.2. К выводу закона распределения функции случайных величин

Величина z в это выражение входит через предел интегрирования. Дифференцируя G(z) по z, получим плотность распределения

случайной величины Z.

Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения

Пусть имеется система двух случайных величин (X , Y ) с плотностью распределения f (x, y). Требуется найти закон распределения случайной величины Z = X + Y. Поверхность z = x + y − плос-

кость, проходящая через начало координат.

В заштрихованной области лежат те значения аргументов при которых X + Y < z. Тогда из рис. 10.3 следует

 

 

 

 

+∞ z− x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G(z) =

f (x, y)dxdy =

 

 

 

(10.11)

 

 

 

f (x, y)dy dx.

 

D

 

 

−∞ −∞

 

 

 

Плотность распределения случайной величины Z есть

 

 

g(z) = dG

+∞

 

 

 

 

 

 

=

f (x, z − x)dx.

 

(10.12)

dz −∞

Исходя из соображений симметрии, можно получить

86

g(z) = dG

 

+∞

 

=

f (z − y, y)dy.

(10.13)

dz

 

−∞

 

 

 

 

Рис. 10.3. К выводу закона композиции

Таким образом, если известен закон распределения системы f (x, y), то закон распределения суммы легко получается.

Если требуется найти закон распределения суммы независимых случайных величин, то говорят о композиции законов распределе-

ния.

Рассмотрим случай композиции двух законов распределения. Пусть имеются две случайные величины X и Y, соответственно под-

чиненные f1(x) и f2 ( y). Требуется найти плотность распределения

суммы этих двух независимых случайных величин. В силу независимости X и Y плотность распределения системы имеет вид

 

 

f (x, y) = f1(x) f2 ( y),

(10.14)

 

+∞

+∞

 

тогда

g(z) =

f (x, z − x)dx = f1(x) f2 (z − x)dx.

(10.15)

 

−∞

−∞

 

Операцию нахождения композиции двух законно распределения сокращенно записывают так: g(z) = f1(x) f2 ( y).

87

Композиция нормальных законов

Пусть каждая из двух независимых случайных величин X и Y подчинена нормальному закону распределения с плотностью рас-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

− (x−mx )2

 

 

 

пределения,

соответственно,

f (x) =

 

 

 

2σ2x

и f

2

(x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

σx

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y−my )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2σ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

y . Требуется произвести композицию законов, т.е.

σ y

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найти плотность распределения g(z) = f1(x)

f2 ( y),

где Z = X + Y.

 

Применим формулу (10.15):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

g(z) = f (x, z −

−∞

1 +∞

2πσyσx −∞

+∞

x)dx = f1(x) f2 (z − x)dx =

 

−∞

 

 

 

 

 

(x−m

)2

 

( y−my )2

 

−

x

 

−

 

 

 

 

2σ2y dx =

 

e

2σ2x

 

 

(10.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x−m )2

 

(z−x−my )2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

+∞

−

 

 

x

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2σ2x

 

 

 

2σ2y

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

2πσ

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x −∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в формуле (10.16) сделать замену переменных:

 

1

σ2x + σ2y

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

z − my

 

 

 

 

 

 

m2

 

(z − my )2

A =

 

 

; B

=

 

 

 

 

x

 

 

+

 

 

 

 

;

 

 

C ==

x

+

 

,

 

2

σ2x σ2y

 

 

 

 

 

 

2σ2x

 

 

 

 

 

2σ2y

 

 

 

 

 

 

2σ2x

2σ2y

то формулу (10.16) можно привести к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

+∞

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e− Ax

+2Bx−C dx.

 

(10.17)

 

 

 

 

2πσ

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x −∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из курса математического анализа известно, что

 

 

 

 

 

 

+∞

− Ax

2

+ 2Bx−C

 

 

 

π

 

− AC− B2

 

 

 

 

 

 

 

e

dx =

 

 

e

A

.

 

(10.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

88

Тогда, проводя необходимые преобразования, получим

 

1

 

−

(z−mz )2

 

 

 

 

2(σ2

+σ2 )

 

 

g(z) =

 

 

e

x

y

.

(10.19)

σ2x + σ2y

 

 

2π

 

 

 

 

Как видно из выражения (10.19), случайная величина Z = X + Y также подчиняется нормальному закону с параметрами:

mz = mx + my

и Dz = Dx + Dy . Если имеется n случайных величин

 

 

n

 

 

 

 

 

X1,..., Xn , то

случайная величина

Z = Xi ,

 

также

подчиняется

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

и Dz

n

 

 

нормальному закону с параметрами

mz = mx

= Dx .

От-

 

 

i=1

i

 

i=1

i

 

 

 

 

 

 

 

метим тот факт, что даже если нормально распределенные случайные величины коррелированны, то их сумма всё равно распределена по нормальному закону. Только выражение для дисперсии будет

 

n

 

+ 2 Kx y

 

 

иметь вид

Dz = Dx

j

. Таким образом, при композиции

 

i=1

i

i< j

i

 

 

 

 

 

 

нормальных законов получается нормальный закон.

Нетрудно понять, что закон распределения линейной функции от

n

нормально распределенных аргументов Z = ai Xi + b также будет

i=1

нормальным с числовыми характеристиками

n

 

n

 

+ 2 aia j Kx y

 

mz = aimx

+ b и Dz = ai2 Dx

.

i=1

i

i=1

i

i< j

i j

 

 

 

 

 

Предельные теоремы теории вероятностей, о которых мы будем говорить ниже доказывают, что при композиции большого числа любых законов, закон распределения суммы близок к нормальному закону.

Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы теории вероятностей можно условно разделить на две группы. Первая группа объединяется под названием

«закон больших чисел», а вторая − под названием «центральная предельная теорема».

89

Предельные теоремы описывают свойство устойчивости массовых случайных явлений, суть которой в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений. В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд теорем, в каждой из которых для тех или иных условий установлен факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Например, теорема Бернулли утверждает, что при большом числе опытов, если вероятность события не изменяется от опыта к опыту, частота события сходится по вероятности к вероятности появления этого события. Мы уже упоминали об этом, когда говорили о статистическом подходе к определению вероятности. Приведем еще один пример с бросанием монеты. Если производится n бросков и «герб» появляется в m случаях, то отно-

шение w(n) = mn является частотой появления «герба». Понятно,

что для «правильной» монеты вероятность выпадения «герба» равна вероятности выпадения «решки», равна p = 0,5 и при каждом

броске одинакова. Пусть, например, произведено 12 серий испытаний, число бросков в каждой серии показано в табл. 10.1

Таблица 10.1

Исходные данные для испытаний

Номер

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

серии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число опытов

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1000

10000

в серии, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты численного эксперимента показаны на рис. 10.4. Частота выпадения «герба» mn получена с использованием функции

генерации случайного числа из программы Excel (Сервис → Ана-

лиз данных → Генерация случайных чисел → Распределение

Биномиальное). Зависимость P m > n

− 1

есть вероятность того,

 

2

 

 

90

Источник: https://studfile.net/preview/16708854/

Смотрите также:

_1966(~1
"Логистическая технология JIT"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«Дизайнерские дети» как профилактика инвалидизации общества
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа
[2 курс] Определения
00438
00463
05_ПЗ
1 Аминокислоты. Белки