Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Таблица 14.1 Виды ошибок при проверке статистических гипотез

Из таблицы видно, что ошибка первого рода – это когда отвергается истина, а ошибка второго рода – когда принимается ложь.

Неотрицательный результат статистической проверки статистических гипотез не означает, что высказанное предположение абсолютно верно, просто оно не противоречит выборочным данным, так результат проверки гипотезы H0 и необходимо рассмат-

ривать.

Вероятность совершить ошибку первого рода обозначают α и называют уровнем значимости, а вероятность совершить ошибку

второго рода обозначают β.

Общая логическая схема проверки статистических гипотез

1. Формулируется нулевая и альтернативная гипотезы: H0 − предположение;

H1 − альтернативное предположение.

2. Формируется некоторая функция K = fn ( X1,..., Xn ) от резуль-

татов наблюдения. Эта функция называется критерием. Так как величины X1,..., Xn – случайные, то K − случайная величина. Обя-

зательным является, чтобы закон распределения f (k) был хорошо изучен и затабулирован в предположении справедливости H0 .

Принцип построения критерия K: величиной критерия опре-

деляется мера расхождения имеющихся в распоряжении выборочных данных с высказанной гипотезой H0 .

3. Задается величина уровня значимости α. Величина априорного значения α зависит от тех потерь, которые мы понесем, отвергнув

правильную гипотезу. Чем больше потери, тем меньше величина α.

121

4. Из таблиц, где затабулирована f (k) – плотность распределе-

ния K, при заданном уровне значимости находим точки, разделяющие всю область мыслимых значений K в зависимости от выбранной альтернативной гипотезы на три или две части. Эти точки называются критическими. Совокупности значений критерия, при

котором отвергается гипотеза H0 образуют критические области:

1 – неправдоподобно малых значений K;

2 – правдоподобных значений K;

3 – неправдоподобно больших значений K.

5. В функцию K = fn (X1,..., Xn ) подставляем выборочные зна-

чения x1,..., xn . Если окажется, что число kнабл = fn (x1,..., xn ) попадает во вторую область, то считают, что гипотеза не противоречит экспериментальным данным. Если же в первую или третью область, то, скорее всего, случайная величина K не подчиняется известному закону f (k) и это несоответствие объясняется неверностью гипоте-

зы H0 , и мы от нее отказываемся.

Рис. 14.1. Критические области

Мощность критерия – вероятность принятия альтернативной гипотезы H1 , если она верна, или вероятность попадания критерия

122

в критическую область при условии правильности гипотезы H1 . То есть мощность критерия – это вероятность того, что H0 отвергнута, если H1 верна. Если β – вероятность совершить ошибку второго

рода, т.е. события «принята нулевая гипотеза, причем справедлива

конкурирующая», то мощность критерия 1 – β.

Таким образом, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода (рис. 14.2).

Рис. 14.2. Геометрическая интерпретация проверки гипотез

Построение статистического критерия на основе принципа отношения правдоподобия

Пусть требуется определить, какому закону распределения принадлежат полученные числа выборки a, b, c. Пусть законы X (x) и

Y ( y) – нормальные и отличающиеся только математическим ожи-

данием.

Пусть: H0: F(x) = X (x); H1: F(x) = Y (x).

Из рис. 14.3 видно, что гипотеза H0 не противоречит экспери-

ментальным данным, и a, b, c выглядят более правдоподобными, чем при гипотезе H1 .

123

Оказалось, что в первом районе средняя цена по выборке 8000 у.е., а во втором 7000 у.е. Визуальный анализ гистограмм показал, что цена за «сотку» при продаже участков в розницу скорее всего подчиняется нормальному закону. Оценки исправленных выборочных средних квадратических отклонений, соответственно, в первом районе 2000 у.е., а во втором 3000 у.е. Так как выборки имеют достаточно большой объем можно считать оценки дисперсий по выборкам совпадают с истинными дисперсиями. Иными словами, будем считать, что дисперсии в генеральных совокупностях нам известны. Поскольку усреднение цен на землю получено по конечным объемам выборок, не факт, что в первом районе средняя цена в целом выше, чем во втором. Вы хотите проверить гипотезу, что на самом деле средняя цена одинакова. При этом возможны следующие альтернативы:

средняя цена разная; цена в первом районе больше, чем во втором;

цена в первом районе меньше, чем во втором.

При этом вас устраивает, если вероятность отвергнуть истину будет составлять величину 5 %.

Формально данную задачу сформулируем следующим образом. Пусть две случайные величины X и Y подчинены нормальному закону. Имеются две независимые выборки объемом n и m. Необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что математические ожидания этих двух генеральных совокупностей совпадают относительно альтернативной гипотезы – математические ожидания не

равны.

В соответствии с общей логической схемой статистической проверки статистических гипотез, реализуем следующие шаги:

1. Выдвигаем гипотезу H0 и альтернативную ей гипотезу H1 .

H0: : M[ X ] = M[Y ];

H1: M[X ] ≠ M[Y ].

Y распределены нормально.

125