Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вероятность того, что случайная величина χ2 будет правее точ-

ки χ22 , есть площадь под кривой правее точки χ22. Эту площадь

можно определить следующим образом. Из всей площади под кривой (которая равна 1) вычесть площадь под кривой между точками

0 и χ22 , которая равна

α . То есть 1− α . Таким образом, левая гра-

 

2

2

 

ница интервала Iβ находится из решения уравнения

 

 

+∞

f (χ2 )dχ2 = 1− α .

 

 

 

(13.2)

 

χ22

2

 

 

 

 

Решение уравнений (13.1) и (13.2) возможно либо численно, либо уже затабулировано в соответствующих таблицах.

Теперь, считая χ12 и χ22 известными, найдем по Iβ искомый интервал для оценки дисперсии, который накрывает точку истинное

значение

σ2

с вероятностью β. Из условия P(χ2

< χ2 < χ2 ) = β сле-

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2

1

дует, что

1

 

(n − 1)S2 < χ2

и

1

(n − 1)S2 > χ2

. Это означает, что

 

 

 

 

 

 

 

 

σ2x

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ2x

 

 

 

1

(n − 1)S2 < σ2 <

1

(n − 1)S 2.

Таким образом,

получен довери-

 

 

χ2

 

χ2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

тельный интервал для оценки дисперсии, внутри которого лежит истинное значение дисперсии с заданной доверительной вероятностью, т.е.

 

1

(n − 1)S2

 

1

(n − 1)S 2

 

 

 

P

 

< Dx <

 

 

= β.

(13.3)

χ2

χ2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

Пример. По данным выборки объема n = 20 из генеральной нормально распределенной совокупности найдена исправленная выбо-

рочная дисперсия s2 = 6,6. Найти доверительный интервал, по-

крывающий генеральную дисперсию с доверительной вероятностью β = 0,8.

Число степеней свободы k = n − 1 = 19. Для нахождения критических точек χ12 и χ22 с помощью программы Excel нужно восполь-

116

зоваться функцией ХИ2ОБР (Вставка → Функция → Мастер

функций → Статистические → ХИ2ОБР).

Критические точки для двустронней критической области находятся, если задать число степеней свободы и значения α2 = 0,1

и 1− α2 = 0,9. Тогда получим χ12 = 27, 2 и χ22 = 11,65.

Рис. 13.3

Проведя простые расчеты, получим 0,045 < Dx < 0,104.

Приближенное определение доверительных интервалов

В основе подхода к приближенному определению доверительных интервалов лежит возможность применения предельных теорем теории вероятностей при достаточно больших объемах выборки. Например, как установлено практикой, при объеме выборки n > 20 закон распределения суммы случайных величин можно считать нормальным. Рассмотрим несколько примеров приближенного определения доверительных интервалов.

Пример построения доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии.

117

Пусть имеется выборка x1,..., xn , причем математическое ожидание и дисперсия неизвестны. Для них получены оценки

x* =

1 n

xi , (s *)2 =

1

n

(xi − x* )2.

 

 

n i=1

 

n − 1 i=1

 

1. Доверительный интервал для математического ожидания.

Построим доверительный интервал Iβ для математического ожидания при заданной доверительной вероятности β . Воспользу-

емся тем, что X * пропорциональна сумме независимых случайных величин. Тогда, согласно предельной теореме, закон распределения суммы можно считать нормальным при n → ∞. Предположим, что и

при конкретном, конечном n сумма n Xi будет подчинена нор-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

мальному

 

закону распределения.

Следовательно, оценка

 

 

* = 1 n

Xi

также будет подчинена нормальному закону с мате-

X

 

 

n i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матическим ожиданием mx и дисперсией

Dx =

Dx

. Предположим,

 

что Dx известна, и найдем такую величину

 

n

, для которой будет

 

 

 

* − mx

 

<

) = β.

Так как закон рас-

выполняться неравенство P(

X

 

пределения оценки X * – нормальный, то эту вероятность можно выразить через функцию Лапласа (см. (7.7)), т.е.

 

(

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

P

X * − m

x

 

<

= Φ

 

 

 

,

где

σ

x

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σx

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

= Φ−1(β)

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

2σx , причем

σx =

 

x

определяется тоже

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по данным выборки.

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания есть: Iβ = (X * − , X * + ), где величина затабулирована

в таблицах или находится численно. Φ−1(β) 2.

118

2. Доверительный интервал для дисперсии.

 

 

 

 

 

 

1

n

Оценка дисперсии

S 2 =

 

 

 

* )2 представляет собой

 

(Xi − X

 

 

 

 

 

 

 

n − 1 i=1

 

(X

 

 

 

* )2

 

 

 

сумму величин вида

i

− X

. Эти величины не являются неза-

 

n − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

висимыми, так как в любую из них входит оценка математического ожидания X *. Однако при достаточно большом n закон распреде-

ления суммы приближается к нормальному. Предположим, что это так, и найдем характеристики этого закона. Так как оценка исправленной выборочной дисперсии является несмещенной, то выполня-

ется соотношение M[S2 ] = Dx . Можно показать, что

D[S2 ] =

1

μ

 

−

n − 3

D2

,

(13.4)

n

 

n(n − 1)

 

 

4

 

x

 

 

+∞

где μ4 = (x − mx )4 f (x)dx – четвертый момент случайной величи-

−∞

ны X.

Заменим в выражении (13.4) истинные значения

Dx

и μ4 их

оценками, полученными по конечной выборке объема n:

 

 

S

2 =

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

* )2 ;

 

 

 

 

(Xi − X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n − 1 i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Xi

 

 

 

* )4

 

 

 

 

 

 

 

− X

 

 

 

 

 

μ*4 =

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно показать, что

D[S2 ] =

 

2

 

 

S2

, откуда σD = S

2

.

n

− 1

n − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Затем доверительный интервал Iβ = (S 2 −

, S 2 + )

строится так

же, как для математического ожидания, где

= Φ−1(β)

2σD .

 

119

Лекция 14. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Статистическая гипотеза – это предположение относительно вида закона распределения или величины неизвестных параметров известного закона распределения.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой и обозначается H0 .

Наряду с этой гипотезой рассматривают конкурирующую или альтернативную ей гипотезу H1 . Например, проверяется на нормаль-

ность закон распределения случайной величины X. Тогда математическая запись такова:

H0 − случайная величина X распределена по нормальному

закону;

H1 − случайная величина X распределена не по нормальному за-

кону.

Если исследуются параметры известного распределения, то в этом случае постановка задачи может выглядеть, например, так:

H0: M[X ] = 1 (математическое ожидание случайной величины X равно 1);

H1: M[X ] ≠ 1 (математическое ожидание случайной величины

X не равно 1).

Целью статистической проверки статистических гипотез является установления факта: не противоречит ли выдвинутая гипотеза,

имеющимся выборочным данным x1,..., xn .

Статистическая проверка гипотез – это процедура обосно-

ванного сопоставления (с помощью того или иного критерия) высказанной гипотезы H0 и экспериментальных выборочных данных.

При проверке выдвинутой гипотезы возможны ошибки двух видов:

первого рода – непринятие верной статистической гипотезы. второго рода – принятие неверной статистической гипотезы. Для наглядности в табл. 14.1 показаны введенные выше опреде-

ления ошибок при проверки гипотез.

120

Источник: https://studfile.net/preview/16708854/

Смотрите также:

_1966(~1
"Логистическая технология JIT"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«Дизайнерские дети» как профилактика инвалидизации общества
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа
[2 курс] Определения
00438
00463
05_ПЗ
1 Аминокислоты. Белки