Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015
т.д. Из анализа данных этого столбца видно, что наибольшей является вероятность продать двум покупателям. Гистограмма на рис. 3.5 визуализирует этот факт. Столбцы D, E, F содержат так называемые интегральные вероятности. Например, содержимое ячейки С9 определяет вероятность продажи либо одному, либо двум покупателям.
Рис. 3.4. Биномиальные формулы
Рис. 3.5. Гистограмма биномиального распределения
Отметим, что гистограммой некоторой величины называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, на которые раномерно разбита вся область изменения величины, а высоты равны отношению количества значений данной величины, попавших в интервал к величине интервала h.
26
Закон Пуассона
Частным случаем биномиального распределения является закон Пуассона. Можно показать, что если в биномиальном законе число испытаний увеличивать n → ∞, а вероятность события при этом
уменьшать p → 0, то биномиальный закон превращается в закон Пуассона:
P (m) = |
λ me−λ |
, |
(3.2) |
n |
m! |
|
|
|
|
|
где λ = np − среднее число появления события в n испытаниях.
Пример. Железнодорожные кассы продают в день 500 билетов. Вероятность возврата билета 0,002. Требуется найти вероятность того, что будет возвращено следующее количество билетов:
1) ровно три; 2) менее трех; 3) более трех. Понятно, что λ = pn = 1 , тогда:
1) вероятность того, что будет возвращено ровно 3 билета
есть P500 (3) = e−1 = 0,0613; 3!
2) вероятность того, что будет возвращено менее трех биле-
|
|
|
(1) + P (2) = e−1 |
+ e−1 + e− |
1 |
|
тов |
P |
(0) + P |
2 |
= 0,9197; |
||
|
500 |
500 |
500 |
|
|
|
3) найдем вероятность того, что будет возвращено более трех билетов. События «возвращено более трех билетов» и «возвращено не более трех билетов» противоположны (обозначим вероят-
ность этого события Q ), тогда P = 1− Q = 1− [P500 (0) + P500 (1) +
+ P500 (2) + P500 (3)] = 0,019.
На рис. 3.6 показано распределение Пуассона для различных λ. Этот график также построен с помощью программы Exel. Поскольку нам придется и дальше приводить вид различных законов распределения, покажем, как это сделано в данном случае. После-
довательность шагов такова:
1.Откройте программу Exel.
2.Введите информацию, представленную в первых шести строчках на рис. 3.2.
27
Рис. 3.6. Распределение Пуассона
Рис. 3.7. Вероятности закона Пуассона
3.Введите значения от 0 до 10 в ячейки A7:A17.
4.Выделите ячейку B7 и Вставка → Функция → Мастер функций→Статистические→ ПУАССОН.
5.Нажмите OK.
6.В окне «Аргументы функции» (рис. 3.8) заполните строки в соответствии с рисунком и нажмите OK.
7.Перетащите маркер заполнения в правом нижнем углу ячейки B7 к ячейке B17. После этого заполнится столбец В.
8.Для заполнения остальных столбцов выполняйте пп. 4−5, но выделяйте ячейки C7,D7,E7,F7, в эти ячейки вставляйте функцию и в окне «Аргументы функции» вводите соответ-
28
ственно среднее равное 2, 3, 4, 5. Результат ваших действий должен быть таким, как на рис. 3.7.
9.С помощью «Мастера построения диаграмм» создайте рис. 3.6.
Рис. 3.8. Диалоговое окно ПУАССОН
Лекция 4. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Функция распределения и её свойства
Универсальной характеристикой, полностью описывающей любую случайную величину с вероятностной точки зрения, является функция распределения ее вероятности. Она определяется как вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x, т.е.
F(x) = P(X < x). |
(4.1) |
Поясним смысл введения этого определения на таком примере. Допустим, мы рассматриваем множество людей, живущих на планете Земля, включая лилипутов ростом полметра и великанов ро-
29
стом три метра, на предмет исследования их физических кондиций, например роста. Если мы наугад для исследования выбираем человека, то для нас его рост является случайной величиной. Предположим, что значения роста человека непрерывно заполняют некоторый промежуток, допустим, от 0,5 до 3 м, аналогично геометриче-
ским точкам на отрезке [a, b]. Попытаемся определить вероятности
того, что наугад выбранный нами индивидуум будет иметь рост в пределах от 150 до 180 см. Понятно, что классическим определением вероятности мы здесь воспользоваться не можем, так как не можем перенумеровать все точки отрезка и, соответственно, составить таблицу – ряд распределения. С другой стороны, очевидно, что если мы наудачу будем выбирать из человеческой массы индивидуума, то чаще нам будут попадаться люди среднего роста от 150 до 180 см. Таким образом, рост случайно выбранного человека неравновероятно распределен по оси роста. Введение функции распределения позволяет описать в вероятностном плане такую ситуацию.
Функция распределения обладает следующими свойствами.
Свойства функции распределения
Свойство 1. Значения F(x) принадлежат отрезку [0, 1], т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1.
Это свойство следует из самого определения функции распределения как вероятности F(x) = P(X < x), поскольку вероятность не
может быть ни отрицательной, ни больше 1.
Свойство 2. F(x) − неубывающая функция, т.е. если x2 > x1 , то
F(x2 ) ≥ F(x1).
Доказательство. Пусть x2 > x1 . Событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x2 можно
подразделить на следующие два несовместных события: случайная величина X примет значение меньшее, чем x1 . (Слу-
чайная точка попадет левее точки x1 , см. рис. 4.1.) Вероятность этого события F(x1) = P(X < x1);
случайная величина X примет значение из интервала x1 ≤ X < x2 . Вероятность этого события P(x1 ≤ X < x2 ).
30