Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Так как точка x1 выбиралась нами произвольно на оси, то зна-

чит, для любого значения x непрерывной случайной величины вероятность ее реализации равна 0.

Свойство 3. F(x = −∞) = 0; F(x = +∞) = 1.

Поясним свойства функции распределения применительно к приведенному выше примеру с ростом человека. Во-первых, в нашем примере значение функции F(x) = P(X < x) будет давать

вероятность того, что рост наугад взятого человека будет менее, чем заданное число x. К примеру, если x = 1,5 м, то F(1,5 м) есть

вероятность того, что рост случайно выбранного человека будет менее полутора метров, а например, F(2 м) − что рост наугад вы-

бранного человека меньше двух метров. Понятно, что F(1,5 м) < < F(2 м) , так как вероятность выбрать человека с ростом менее

двух метров «перекрывает» вероятность выбора человека с ростом менее полутора метров. Так как в последнем случае случайно выбранный индивидуум может иметь рост как 1,2 м, так и 1,8 м. Таким образом, функция распределения действительно неотрицательная, неубывающая функция. Далее, первое следствие из свойства 2 означает, что разность двух функций F(2 м) − F(1,5 м) равна ве-

роятности того, что рост наугад выбранного человека будет лежать в пределах от полутора до двух метров. Второе следствие говорит о том, что вероятность выбора человека с конкретным значением роста полтора метра или два метра одинакова и равна нулю.

Здесь сделаем небольшое отступление и зададимся вопросом: Если вероятность события равна нулю, означает ли, что это событие невозможно? Нет, не означает! Вот такой пример с игральной костью. Мы уже знаем, что если кость имеет шесть граней, то выпадение любого числа очков одинаково и равно 1/ 6 . Например, вероятность выпадения 6 очков будет 1/ 6 . Увеличим число граней до 20, тогда вероятность выпадения любого числа очков будет 1/ 20 . Если мы будем увеличивать число граней до бесконечности, то многогранник превратится в шар, а грань − в точку на поверхности шара. Бросим шар на твердую поверхность и пометим точку поверхности шара, оказавшейся самой верхней. А теперь представим, что пометку мы сделали до броска. Тогда до броска нам интуитивно понятно: вероятность того, что шар упадет так, что конкретная, помеченная

32

нами точка поверхности шара будет наверху и равна 0. Но ведь событие произошло! Значит, вероятность события, равная нулю, не означает невозможности события! Верно и обратное. Если вероятность события равна 1, то это не означает, что событие достоверно. Действительно, если теперь под событием понимать, что шар не упадет так, что помеченная до броска точка окажется наверху, то вероятность этого события равна единице, однако, как мы видели, это событие недостоверно.

Плотность распределения непрерывной случайной величины и её свойства

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения F(x). Тогда вероятность попадания значения слу-

Из математического анализа известно, что если предел этого отношения при x → 0 существует, то это будет производная функции

Функция f (x) называется плотностью распределения вероятно-

стей или для краткости будем в дальнейшем говорить «плотность распределения» случайной величины X.

Смысл введения этой величины в том, что она характеризует «локальную» структуру функции распределения. Рассмотрим такой пример. Известно, что за прошедшие несколько столетий человек стал выше ростом. Рассмотрим группу людей из 17-го века и такую

33

же по численности группу людей 21-го века. Пусть максимальный и минимальный рост в каждой группе одинаков, например,

xmax = 2 м, xmin = 1 м. (И в 17-м веке, и в 21-м веке есть карлики и великаны.) Обозначим функцию распределения вероятности вы-

брать наугад человека с ростом менее x из первой группы F1(x), а из второй F2 (x). Понятно, что F1(165 см) ≥ F2 (165 см). Совершенно

разной и будет вероятность того, что рост случайно выбранного человека из первой и второй группы будет лежать в пределах, например, от 175 до 190 см.

Вероятность попадания случайной величины X в интервал (α, β) можно выразить через плотность распределения

α

Примечание для особо любознательных. Почему в выражении (4.8) мы можем писать P(α < X < β) , а ранее писали P(α ≤ X < β)?

Так можно писать, потому что для непрерывной случайной величины вероятность любого отдельного значения случайной величины равна нулю, в том числе P(α) = P(β) = 0. Значит, можно включать

или не включать граничные точки отрезка в рассматриваемый интервал (в зависимости от конкретной ситуации). При этом

P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α < X ≤ β) = P(α ≤ X ≤ β).

где значение функции f (x) вычисляется для любого x x. Между плотностью распределения f (x) и функцией распреде-

ления F(x) существует связь. Установить ее можно следующим

образом. Исходя из определения функции распределения F(x) = P(X < x) и учитывая, что −∞ < X < +∞, из формулы (4.8)

получим

−∞

34

Свойства плотности распределения

Свойство 1. Функция плотности распределения f (x) − неотри-

цательная:

f (x) ≥ 0.

Это является следствием того, что F(x) − неубывающая функция.

Свойство 2:

+∞

f (x) dx = 1.

−∞

x

Это свойство вытекает из того, что F(+∞) = 1, а F(x) = f (t) dt.

−∞

Отметим еще одну деталь. Функция F(x) − не имеет размерности, а функция f (x) имеет размерность, обратную размерности случайной величины.

Геометрическая интерпретация функции распределения и плотности распределения

На рис. 4.2 показана функция распределения F(x) для непре-

рывной случайной величины. Из рисунка видно, что функция неубывающая и стремится к 0 при x → −∞, и к единице при x → +∞.

Для конкретного значения x значение функции F(x) есть вероят-

ность того, что случайная величина X будет меньше заданного значения x.

На рис. 4.3 показана плотность распределения. Площадь под кривой, ограниченная прямыми x = a и x = b, имеет смысл вероят-

ности того, что случайная величина примет значение из интервала a < X < b. Площадь под кривой, ограниченная осью 0X и прямой x = x , имеет смысл функции распределения, т.е. вероятности того, что случайная величина X будет меньше, чем x.

35