Материал: Астахов Механика. Конспект лекций 2011

Центр масс (центр инерции) системы материальных точек — точка, радиус-вектор которой определяется равенством:

n

∑mi ri

rц.м = i=1mc , (13.12)

где mi, ri — масса и радиус-вектор i-й м.т. соответственно, mс —

n

масса системы материальных точек: mc = ∑mi .

i=1

Скорость центра масс системы материальных точек

где mi, vi — масса и скорость i-й материальной точки.

Импульс системы м.т. может быть найден через произведение скорости центра масс и массы системы:

Если система м.т. незамкнута, то скорость изменения импульса системы относительно ИСО равна сумме приложенных ко всем материальным точкам системы внешних сил (или равнодействующей внешних сил):

где Fp.внеш i — равнодействующая внешних сил, действующих на i-ю материальную точку системы.

В общем случае, если равнодействующая внешних сил непостоянна, то приращение импульса системы м.т. может быть найдено через среднее равнодействующей внешних сил Fрвнеш :

51

Если равнодействующая внешних сил постоянна (Fр.внеш = const) на промежутке времени t, то приращение импульса системы м.т. равно импульсу равнодействующей внешних сил:

Равенству (13.17) эквивалентна система уравнений для проекций приращения импульса системы материальных точек (при движении м.т. в плоскости хОу):

Закон сохранения импульса системы материальных точек

Относительно инерциальной системы отсчета (ИСО) импульс замкнутой системы материальных точек с течением времени не изменяется:

при этом взаимодействие между материальными точками системы может приводить к изменению их импульсов.

Равенству (13.19) эквивалентно равенство:

Скорость центра масс замкнутой системы материальных точек относительно ИСО с течением времени не изменяется:

Условие сохранения импульса незамкнутой системы материальных точек

Импульс незамкнутой системы м.т. pс с течением времени не изменяется, если сумма всех внешних сил, приложенных к материальным точкам системы, равна нулю:

52

Условие сохранения проекции импульса незамкнутой системы материальных точек

Проекция импульса незамкнутой системы м.т. на какую-либо ось не изменяется, если проекция суммы всех внешних сил на эту ось равна нулю (например на оcь Ox):

Для решения некоторых задач можно считать, что импульс незамкнутой системы материальных точек не изменяется (pн.с = pк.с), если приращением импульса системы по сравнению с первоначальным значением можно пренебречь ( pс << pн.с) вследствие малых значений равнодействующей внешних сил и (или) промежутка времени действия внешних тел, и, следовательно, незначительности импульса равнодействующей внешних сил.

Реактивное движение

При работе двигателей ракеты общая масса ракеты уменьшается при истечении некоторого количества газа, образующегося при сгорании топлива.

Уравнение Мещерского динамическое уравнение движения ракеты переменной массы при реактивном движении:

где M — общая масса ракеты (являющаяся переменной величиной) в некоторый момент времени, a ускорение ракеты, Fр.внеш — равнодействующая внешних сил, приложенных к ракете, Fреакт — реактивная сила:

где μ = dmг — расход топлива, u — скорость газа относительно dt

ракеты.

53

§14. Работа и мощность

Работа постоянной силы при прямолинейном движении А — СФВ, равная скалярному произведению постоянной силы F на перемещение м.т. r, на котором действует эта сила:

Работа постоянной силы при прямолинейном движении м.т. по оси Ох в системе координат FxOx равна площади (в единицах работы) прямоугольника, ограниченного графиком Fx(х), осью Ох

54

от начальной до конечной координаты м.т. и отрезками прямых х = хн и х = хк (рис.14.2).

где δАi элементарная работа, равная скалярному произведению силы Fi на соответствующее перемещение м.т. ri.

Работа переменной силы при прямолинейном движении мате-

риальной точки (например, по оси Ох)

Работа переменной силы при прямолинейном движении мате-

55