Материал: Астахов Механика. Конспект лекций 2011
§15. Механическая энергия
Кинетическая энергия м.т. K — СФВ, равная половине произведения массы m м.т. на квадрат модуля v ее скорости:
K = |
mv2 |
. |
(15.1) |
|
2 |
||||
|
|
|
Кинетическая энергия, обусловленная движением м.т., зависит от системы отсчета и является неотрицательной величиной:
K≥ 0. |
(15.2) |
Единица кинетической энергии — джоуль: [К] = Дж. Теорема о кинетической энергии — приращение кинетической
энергии м.т. равно работе равнодействующей силы Aр:
K = Aр. |
(15.3) |
Работа равнодействующей силы может быть найдена как сумма работ Аi всех сил Fi (i = 1,2,…n), приложенных к м.т.:
n |
|
Ар = ∑Аi . |
(15.4) |
i=1
Модуль скорости материальной точки: при Aр > 0 — увеличивается; при Aр < 0 — уменьшается; при Aр = 0 — не изменяется.
Кинетическая энергия системы м.т. Kс равна сумме кинети-
ческих энергий Кi всех n м.т., принадлежащих данной системе:
n |
n |
2 |
|
|
|
Кс = ∑Кi = ∑ |
mi vi |
, |
(15.5) |
||
2 |
|||||
i=1 |
i=1 |
|
|
||
где mi и vi — масса и модуль скорости i-й м.т. данной системы.
Приращение кинетической энергии системы м.т. равно сумме работ Арi всех равнодействующих сил, приложенным к i-м материальным точкам системы:
n |
|
Кс = ∑Арi . |
(15.6) |
i=1
61
Потенциальная энергия П — СФВ, являющаяся функцией взаимного расположения взаимодействующих материальных точек системы (частей тела).
Единица потенциальной энергии — джоуль: [П] = Дж. Теорема о потенциальной энергии — убыль потенциальной
энергии системы материальных точек (тела) равна работе консер-
вативных сил:
− П = Пн − Пк = Aк.сл. |
(15.7) |
Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной величины и может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
Потенциальная энергия м.т. в какой-либо точке потенциального поля может быть определена через работу консервативных сил этого поля при перемещении м.т. из данной точки поля в точку, потенциальная энергия в которой принята равной нулю:
П = Aк.сл. |
(15.8) |
Потенциальная энергия упругодеформированной пружины
Пупр = |
кx |
2 |
+ C, |
(15.9) |
2 |
|
|||
|
|
|
|
П |
a) |
где х — смещение незакрепленного конца |
|||
|
б) |
пружины; к — жесткость пружины, С — |
|||
|
произвольная постоянная (выбирается из |
||||
|
в) |
условия удобства решения задачи). |
|
||
|
|
Графики Пупр(х) при различных посто- |
|||
О |
|
янных: а) С > 0; б) С = 0; в) С< 0 парабо- |
|||
x |
лы (рис.15.1). |
|
|
|
|
|
|
При условии Пупр(0) = 0, С = 0 и тогда |
|||
Рис. 15.1 |
|
Пупр = |
кx |
2 |
(15.10) |
|
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
Потенциальная энергия м.т. в однородном поле сил тяжести
Птяж = mgh + C, |
(15.11) |
где m — масса; h — высота м.т. над поверхностью Земли (или
62
глубина под поверхностью Земли, при этом h < 0); С — про- |
||||||
извольная постоянная. |
|
|
|
|
||
Графики Птяж(h) при различных постоянных: а) С > 0; б) С = 0; |
||||||
в) С = − mgh0 прямые линии |
|
|
|
|||
(рис.15.2). |
|
|
|
П |
a) |
|
При условии Птяж(0) = 0, С = 0 |
|
|||||
и тогда |
|
|
|
|
б) |
|
|
Птяж = mgh. |
(15.12) |
|
|||
Потенциальная энергия гра- |
О |
в) |
||||
|
|
|||||
витационного |
взаимодействия |
h0 |
h |
|
||
двух материальных точек: |
|
|
|
|||
Пгр = −G Mm + C, |
(15.13) |
Рис. 15.2 |
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
где G — гравитационная постоянная, М и m — массы взаимодей- |
||||||
ствующих м.т., r — расстояние между ними, С — произвольная |
||||||
постоянная. |
|
|
|
|
|
|
Равенство (15.13) справедливо и для случаев а) и б), приведен- |
||||||
ных в законе всемирного тяготения (12.1). Если в случае б) одним |
||||||
из тел является |
планета, |
например Земля, тогда r не может быть |
||||
меньше радиуса Земли RЗ. |
|
|
|
|
||
Графики зависимости Пгр(r) для системы, состоящей из Земли |
||||||
и материальной точки, при различ- |
П |
|
|
|||
ных постоянных: а) С = 0; б) С = |
|
|
||||
= Mзm/Rз |
участки |
гипербол |
|
б) |
|
|
(рис.15.3). |
|
|
|
Rз |
|
|
При условии Пгр(∞) = 0, С = 0 и |
|
r |
||||
тогда |
|
|
|
О |
a) |
|
|
Пгр = −G Mзm , |
|
|
|
||
|
(15.14) |
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
где r — расстояние от центра Земли |
Рис. 15.3 |
|
|
|||
до материальной точки (Rз ≤ r < ∞). |
|
|
|
|||
Механическая энергия м.т. (системы м.т.) E — СФВ, равная |
||||||
сумме кинетической и потенциальной энергий м.т. (системы м.т.): |
||||||
63
E = K + П. |
(15.15) |
Единица механической энергии — джоуль: [Е] = Дж. Приращение механической энергии м.т. (системы м.т.) E
равно сумме приращений кинетической и потенциальной энергий м.т. (системы м.т.):
E = K + П. |
(15.16) |
Замкнутая консервативная система м.т. (з.к.с) — замкнутая система м.т., в которой действуют только консервативные силы.
Закон сохранения механической энергии
Механическая энергия замкнутой консервативной системы не изменяется с течением времени при движении материальных точек системы:
Eз.к.с = const. |
(15.17) |
Уравнению (15.17) эквивалентно уравнение:
Eз.к.с = 0. |
(15.18) |
Замкнутая (неконсервативная) система м.т. (з.с) — замкну-
тая система м.т., в которой наряду с консервативными действуют неконсервативные силы.
Полная энергия системы м.т. W — СФВ, равная сумме внут-
ренней U (сумма кинетической и потенциальной энергий молекул тел) и механической энергии E м.т.:
W = U + E. |
(15.19) |
Закон сохранения полной энергии
Полная энергия замкнутой (неконсервативной) системы м.т.
не изменяется с течением времени при движении материальных точек системы:
Wз.с = const. |
(15.20) |
Уравнению (15.20) эквивалентно уравнение: |
|
Wз.с = 0. |
(15.21) |
Приращение внутренней энергии замкнутой (неконсерватив-
64
ной) системы м.т. равно убыли их механической энергии:
Uз.с = − Eз.с. |
(15.22) |
Приращение механической энергии замкнутой (неконсерва-
тивной) системы м.т. равно работе внутренних неконсервативных сил:
Eз.с = Aвнутр.нк.сл. |
(15.23) |
Незамкнутая (неконсервативная) система м.т.(нз.с.) — не-
замкнутая система м.т., в которой действуют как консервативные, так и неконсервативные силы (внутренние и внешние вместе или по отдельности).
Механическая энергия незамкнутой (неконсервативной) системы м.т.
Eнз.с = Kс + Пс + Пвнеш, |
(15.24) |
где Kс кинетическая энергия системы, Пс потенциальная энергия системы, Пвнеш потенциальная энергия системы во внешнем потенциальном поле.
Приращение механической энергии незамкнутой (некон-
сервативной) системы м.т. равно работе внутренних и внешних неконсервативных сил:
Eнз.с = Aнк.сл = Aвнутр.нк.сл + Aвнеш.нк.сл. |
(15.25) |
Столкновение однородных шаров Центральный удар однородных шаров — удар, при котором
скорости шаров направлены вдоль прямой линии, проходящей через их центры.
Абсолютно упругий удар шаров — удар, при котором механи-
ческая энергия шаров не изменяется.
Скорости однородных шаров после их абсолютно упругого центрального удара, определенные с использованием законов сохранения импульса и механической энергии системы, равны:
v |
= |
|
1 |
|
|
|
m |
− m |
2 ) |
v |
+ 2m |
|
v |
, |
(15.26) |
m + m |
|
|
|
||||||||||||
1к |
|
|
( |
1 |
|
1н |
|
2 |
|
2н |
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65