Документ: Астахов Механика. Конспект лекций 2011, страницы 56-60

риальной точки по оси Ох в системе координат FxOx равна площади (в единицах работы) криволинейной трапеции, ограниченной

Fx					графиком Fx(х), осью Ох от
					начальной до конечной коор-
					начальной до конечной коор-
Fнx					динаты м.т. и отрезками пря-
Fнx					мых х = хн и х = хк (рис.14.4).
Fкx					Средняя мощность <Р> —
Fкx					СФВ, равная отношению рабо-
		A			СФВ, равная отношению рабо-
		A			ты к промежутку времени t, за
					который совершена эта работа:
				x
	О	xн	xк		Р =	A	.	(14.8)
	О	xн	xк			A
		Рис. 14.4
		Рис. 14.4				t

Мощность (мгновенная) Р — СФВ, равная пределу отношения элементарной работы δA к промежутку времени t, за который совершена эта работа, при бесконечном уменьшении промежутка времени:

P = lim	δA .	(14.9)
t→0	t

Единица мощности — ватт: [Р] = Вт = Дж/с = кг м2/с3.

Мощность, как и работа силы, может быть положительной, равной нулю и отрицательной, и выражена через:

а) силу F, приложенную к м.т., и ее скорость v:

P = (Fv) = Fvcosα,

(14.10)

где α — угол между скоростью v и силой F;

б) Fv — проекцию силы на ось Ov, совпадающей по направлению со скоростью v, или vF — проекцию скорости на ось OF, совпадающей по направлению с силой F:

P = Fvv = vFF;

(14.11)

в) проекции силы и скорости на координатные оси (при движении м.т. в плоскости хОу):

P = Fxvx + Fyvy.

(14.12)

56

Работа упругой силы может быть определена из следующих
равенств:	Fупр.к x xк				Fупр.нх хн ,
Аупр =	Fупр.к x xк			−	Fупр.нх хн ,			(14.13)
	2					2
А	упр =	кx	2	−	кх2	,		(14.14)
А	упр =	2	н	−	к	,		(14.14)
		2			2
	F2			−	F2			(14.15)
Аупр =		упр.н		−	упр.к ,			(14.15)
		2к			2к
где хн и xк — начальное и конечное смещения незакрепленного
конца пружины (рис.14.5,а), к которому приложена внешняя сила
Fвнеш; к — жесткость пружины.						y		Fупр
Работа упругой силы может				а)		y		Fупр	Fвнеш
быть положительной, отрицатель-				а)			xн	xк	x
ной и равной нулю:						О	xн	xк	x
а) Aупр > 0 — при уменьшении
удлинения (укорочения) пружины;								A
б) Aупр < 0 — при увеличении						B		A
б) Aупр < 0 — при увеличении				б)
длины пружины при ее растяже-								R
длины пружины при ее растяже-						v Fупр		R
нии или уменьшении длины пру-						v Fупр
жины при ее сжатии;
в) Aупр = 0 — при угле между						Рис. 14.5
силой упругости и скоростью м.т.						Рис. 14.5
силой упругости и скоростью м.т.
равным 90° (например, при движе-					Fупр x		Fупр x
нии м.т. по дуге АВ окружности,					Fупр x		Fупр x
показанной на рис.14.5,б) или при
замкнутой траектории.						xк		xн	xк
Работа упругой силы в систе-				О		x	О		x
ме координат Fупр хOx равна пло-
щади (в единицах работы) прямо-
угольного треугольника при рас-
тяжении или сжатии пружины (на					a)			б)
рис.14.6,а – при растяжении) из						Рис. 14.6
ненагруженного (хн = 0) состояния
или площади трапеции при растяжении или сжатии пружины из

57

нагруженного (хн ≠ 0) состояния (на рис.14.6,б – при растяжении) ограниченных соответствующим графиком Fупр.x(х), осью Ох от начальной до конечной координаты незакрепленного конца пружины и отрезками прямых х = хн (в первом случае хн = 0) и х = хк.

Работа упругой силы определяется только начальным и конечным положениями м.т. и не зависит от траектории между этими точками.

Работа силы тяжести

Aтяж = mg(hн − hк) = −mg h,

(14.16)

где hн и hк — начальная и конечная высоты м.т.(рис.14.7), m — масса м.т., g — модуль ускорения свободного падения (g = const).

Fx

Работа силы тяжести Aтяж оп-

ределяется начальным и конечным

hн

положениями материальной

точки

и не зависит от траектории между

ними. Она может быть положи-

hк

тельной,

отрицательной и

равной

mg

нулю:

а) Aтяж > 0 — при спуске м.т.;

б) Aтяж < 0 — при подъеме м.т.;

О

xк

xн

x

в) Aтяж = 0 — при условии, что

Рис. 14.7

начальная и конечная высоты м.т.

одинаковы, либо при замкнутой траектории.

Работа силы тяготения

Атяг = G

m1m2

− G

m1m2

,

(14.17)

rк

rн

где G — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы материальных точек , rн и rк — начальное и конечное расстояния между материальными точками (см. рис.14.3, в начале координат находится материальная точка массой m1).

Работа силы тяготения Атяг определяется начальным и конечным положениями материальных точек и не зависит от траектории между этими положениями.

Работа силы тяготения может быть положительной, отрица-

58

v

Fтр

Рис.14.9

тельной и равной нулю:

а) Aтяг > 0 — при уменьшении расстояния между м.т. (rк < rн);

б) Aтяг < 0 — при увеличении расстояния между м.т. (rк > rн); в) Aтяг = 0 — при условии, что расстояния между м.т. не изме-

няется (rк = rн), либо при замкнутой траектории.

Равенство (14.17) справедливо и для случаев а) и б), приведенных в законе всемирного тяготения (12.1). Если в случае б) одним из тел является планета, например Земля, тогда rн и rк не могут быть меньше радиуса Земли RЗ, но могут быть представлены в виде суммы RЗ и высот hн и hк м.т., соответственно, над поверхностью Земли.

Работа силы трения при постоянной скорости м.т. может быть определена по формуле:

Aтр = (Fтр,v) t,

(14.18)

где скорость м.т. v = const; сила трения Fтр = const на промежутке времени t.

Работа силы трения может быть				v1
положительной, отрицательной и рав-	Fтр1,2				F
положительной, отрицательной и рав-
ной нулю. Например:

		1
а) работа силы трения Fтр2,1, при-		1
а) работа силы трения Fтр2,1, при-			Fтр 2,1
ложенной к нижнему бруску (рис.14.8)			Fтр 2,1
со стороны верхнего бруска, Aтр2,1 > 0,	2



так как угол между силой Fтр2,1 и ско-
так как угол между силой Fтр2,1 и ско-				v2
ростью v2 нижнего бруска (относи-


тельно поверхности Земли) равен ну-		Рис. 14.8
лю;		Рис. 14.8
лю;

б) работа силы трения Fтр1,2, приложенной к верхнему бруску (см.

рис.14.8) со стороны нижнего бруска,

Aтр1,2 < 0, так как угол между силой Fтр1,2 и скоростью v1 верхнего бруска

равен 180°;

в) работа силы трения Fтр, приложенной к бруску, расположенному (рис.14.9) на вращающемся горизонтальном диске, Атр = 0, так как угол

59

между силой трения Fтр и скоростью v бруска равен 90° (на рисунке дан вид диска сверху, относительно диска брусок неподвижен).

Работа силы трения зависит от траектории между начальным и конечным положениями материальной точки.

Поле сил (силовое поле) — область пространства, в каждой точке которой на тело действуют силы.

Стационарное поле сил — поле, силы которого не изменяются с течением времени:

F(t) = const.

(14.19)

Однородное поле сил — поле, силы которого во всех его точках одинаковы:

F(r) = const.

(14.20)

Центральное поле сил — поле, направления действия всех сил которого проходят через одну точку, называемую центром поля, а модуль сил зависит только от расстояния r до этого центра:

F(r) = f(r) r,

(4.21)

где f(r) – некоторая функция расстояния между данной точкой и центром поля.

Пример стационарного центрального поля сил — поле сил тяготения неподвижной материальной точки. В небольшой области такое поле можно считать однородным.

Консервативные силы (к.сл) — силы, работа которых определяется начальным и конечным положениями м.т. и не зависит от траектории между ними. При замкнутой траектории работа консервативных сил равна нулю. Поле консервативных сил называется

потенциальным.

Пример консервативных сил — силы тяжести, силы тяготения и силы упругости.

Неконсервативные силы (нк.сл) — силы, работа которых зави-

сит от траектории между начальным и конечным положениями материальной точки.

Пример неконсервативных сил — силы трения. Работа силы трения скольжения по замкнутой траектории не равна нулю.

60

Материал: Астахов Механика. Конспект лекций 2011

Смотрите также: