Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Пусть

теперь

дана

f x ,

x a,b и

пусть

имеется

некоторое

разбиение

для a,b (рис. 4). Пусть i

xi 1, xi ,

тогда

составим

сумму

k

f ; 1,..., k

f

i xi ,

i 1

которая называется интегральной суммой Римана.

Если

f x 0,

то

каждое

слагаемое

равно площади

прямоугольника

с

основанием

xi и с высотой

f i .

Вся

сумма

равна пло-

щади ступенчатой фигуры.

Рис. 4

Определение.

f x называется интегрируемой (по Риману) на

a,b , если A ; n

n

x i n i kn

,

n 1,2,...,

i 0

причем lim

0, и

n :

n x n , x n

n

n

i

i

i 1

i

kn

n

n

lim f

A,

i

xi

n

i 1

□ Доказательство от противного, т.е. пусть f x ,

x a,b не

ограничена на

каком-то отрезке

разбиения, например, на x0 , x1 ,

n

x0 , x1

;

n 1, 2,..., что

т.е. 1

lim f n

.

n

1

n

k

i

lim

lim

f

x

f

x

,

n

n 2

1

1

i

i 1

а это значит, что

f x неинтегрируема.

■

Замечание. Обратное утверждение неверно. Контрпримером

служит функция Дирихле

f x

1,

если x рационально

0,

если x иррационально.

Действительно, если

i

выбрать

рациональными, то

1,

а если i выбрать иррациональными,

то

0, а это означает,

что

Пусть f x ,

x a,b и есть x i ii 0k ,

тогда, положим,

sup f x ,

f x ;

Mi

mi

inf

i 1, k.

xi 1 x xi

xi 1 x xi

67

□ Пусть x

i k

для a,b и

x

1

, x

и пусть

X

числовые

i

i 0

i

i

i

i

множества, ai

const 0, то для множества

k

X x: x ai xi , xi Xi , i

1, k

i 1

справедливы равенства

k

k

sup X ai

sup Xi ;

inf X ai inf Xi .

i 1

i 1

Поэтому

k

k

k

s mi xi

inf

f i

xi

inf

f

i xi

inf

.

i 1

i 1

x

x

x

x

i 1

x

x

i 1

i

i

i 1

i

i

i 1

i

i

Аналогично

k

k

k

S Mi xi

sup

f i xi

sup

f i xi

sup . ■

i 1

i 1 xi 1 i xi

xi 1 i xi

i 1

xi 1 i xi

k

4. S s

i

f xi , где i

f колебание

f

на xi 1, xi .

i 1

□ Пусть X ,Y числовые множества и

Z z: z x y,

x X ,

y Y ,

тогда

sup Z sup X inf Y. Поэтому

Mi

mi

sup

f x

inf

f x

xi 1 i xi

xi 1 i xi

x f x

f ,

sup

f

i 1,k

xi 1 x i

i

xi 1 x i

k

k

S

s

Mi

mi xi

i f xi .

■

i 1

i 1

Определение.

I

*

sup s ,

I

* inf S

называются

соответственно

венство

S s

,

но т.к. s S , то окончательно S s .

□ Доказательство необходимости.

Пусть для f x

I b f

x dx существует, т.е.

lim

I

0

0

a

0, что

если

, то

I

или I

I .

s

I

*

I * S ,

откуда 0 I * I

*

S

s

I

*

I * I ,

поэтому

s

I S ,

что равносильно двум неравенствам

0 I s S

s ;

0 S

I S s .

Поэтому

lim I s lim S I 0,

0

0

т.е. lim s

lim S

I , но s

S

lim

0.

■

0

0

0