Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

8.5. Таблица производных основных элементарных функций

9.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

9.1. Неявно заданная функция

Если функция задана в виде y f x , то говорят, что она задана

в явном виде.

Определение. Под неявным заданием функции понимаем задание функции в виде уравнения F x, y 0, не разрешенного

относительно y.

Алгоритм вычисления производной от такой функции следующий: продифференцировать уравнение F x, y 0 по x, рассматри-

вая при этом y как функцию от x, и полученное затем уравнение разрешить относительно y .

9.2. Функция, заданная параметрически

9.3.Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим функцию y uv , где u u x , v v x , тогда

10. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

10.1. Производные высших порядков явно заданной функции

Определение. Производной n-го порядка (или n-ой производ-

ной) называется производная от производной (n – 1) порядка: y n y n 1 .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

10.2. Механический смысл производной второго порядка

точки за t.

32

lim V a ускорение в точке,

t 0 t

но

lim S V ,

t 0 t

поэтому

St Vt a.

Вывод. Вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки.

10.3. Производные высших порядков неявно заданной функции

Имеем F x, y 0, тогда, продифференцировав его по x, получим выражение, в которое войдут x, y, y . Вновь продифференцируем по x как неявную функцию и получим y .

10.4.Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

11. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

11.1. Понятие дифференциала функции

Пусть y f x имеет в точке x отличную от нуля производную,

т.е.

lim y f x 0,

x 0 x

33

тогда, по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф., имеем

y f x x x,

где б.м.ф.

Определение. Дифференциалом функции y f x в точке x

называется главная часть ее приращения dy f x x,

где dy дифференциал первого порядка.

Пусть y x, тогда dy dx, поэтому окончательно

dy f x dx.

Отсюда следует

fx dydx .

11.2.Геометрический смысл дифференциала функции

T – касательная в точке M x, y .

Из MBA

AB tg x ,

т.е.

AB tg x f x dx dy,

Рис. 1

т.е. дифференциал функции y f x в точке x равен приращению

ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение x (рис. 1).

34