Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Рис. 2

Пусть, например, М в

точке x c a,b , т.е.

f c M . Тогда

x a,b :

f c f x .

Найдем f x в точке с:

f c x f c

,

f c lim

x

x 0

f c x f c

0, f c 0

x

f c 0.

■

Теорема Коши. Если f x и x непрерывны на a,b , диффе-

которой

b f a

f c

f

.

b a

c

□ Отметим, что b a 0, т.к.

по теореме Ролля нашлась бы

точка c: c 0.

Рассмотрим вспомогательную функцию:

F x f x f a

f b f a

x a .

b a

F x удовлетворяет условиям теоремы Ролля, тогда c:

c a,b , что

F c 0, но

f b f a

x f

x b a

x ,

F

f b f a

F

c f

c

c 0,

b a

f b f a

f c

.

■

b a

c

Теорема Лагранжа.

Если f x непрерывна на a,b ,дифферен-

цируема на a,b , то c a,b , что

f b f a f c b a .

b a b a;

x 1;

c 1,

откуда

f b f a

f c

b a

f b f a f c b a .

■

Следствие 1. Если

f x 0,

x a,b , то f x const.

□ Пусть f x 0, a,b . Возьмем произвольные x1

и x2 из a,b ,

и пусть x1 x2 , тогда по теореме Лагранжа c x1, x2 ,

что

f x2 f x1 f c x2 x1 ,

но f x 0 f c 0,

где

x1 c x2

f x2 f x1 0,

т.е.

f x2 f x1 ,а т.к. x1, x2 – произвольные из a,b ,то f x const.

■

Следствие 2. Пусть

f1

x f2 x , x a,b , тогда

□ f2 x f1 x

по сл. 1

f2 x f1 x const. ■

f2

x f1 x 0,

вида

0

). Пусть f

x и x непрерывны и дифференцируемы в окре-

0

и f x0 x0 0.

Пусть x 0 в окрестности

стности точки x0

точки x0. Если существует предел

lim

f

x

l,

то

x x0

x

lim

f x

lim

f

x

.

x

x x0

x x0

x

f x f x0

f

c

, c x , x

x x0

c

0

или, учитывая f x0 x0 (по условию теоремы):

f x

f c

.

x

c

Пусть x x0 , тогда c x0 , поэтому c x

lim

f x

lim

f

c

lim

f

x

.

■

c

x x0 x

x x0

x x0

x

Теорема (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

вида

). Пусть

f x , x

непрерывны

и

дифференцируемы

в

lim f x

окрестности

точки x0

и

в

этой

окрестности

x x0

lim x , x 0. Тогда если существует предел

lim

f

x

,

то

x x0

x x0

x

lim

f x

lim

f

x

.

x

x x0

x x0

x

Теорема (необходимые условия). Если дифференцируемая на

a,b f x возрастает (убывает), то f x 0

f x 0 x a,b .

□ Пусть f x возрастает

a,b . Возьмем

x и x x, x a,b

и x x a,b . Рассмотрим

y

f x x f x

.

x

x

Если x 0,

то x x x и f x x f x ;

если x 0,

то

x x x и

f x x f x ,

тогда

y 0,

т.к.

x

числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, тогда

lim

y f x 0.

■

x 0

x

Аналогично доказывается случай убывания f x .

Теорема (достаточные условия). Если f x

дифференцируема

на

a,b

и

f x 0

f x 0 x a,b ,

то

f x

возрастает

(убывает) на a,b .

□

Пусть

f x 0. Возьмем

x1 a,b , x2 a,b , причем x1 x2 .

Применим к x1, x2 теорему Лагранжа:

f x2 f x1 f c x2 x1 , где c x1, x2 .

Т.к. f c 0, x2 x1 0

f x2 f x1 0

f x2 f x1 .

■

цируемая функция y f x имеет экстремум в точке x0, то

f x 0.

□ Пусть точка x0 – точка максимума, тогда

f x0

f x0 x ,

но y

f x0 x f x0

0,

если x 0 и

y

0,

если x 0.

x

x

x

40