Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

С другой стороны,			f x0 x f x0
f x0	lim				,
				x
	x 0
поэтому f x0 0, когда		x 0		и f x0 0, когда		x 0,
f x 0.						■

Теорема (достаточное условие экстремума). Если непрерыв-

ная функция y f x дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и при переходе через нее (слева направо) f x меняет знак

с ″+″ на ″-″, то x0 – точка максимума, с ″-″ на ″+″, то x0 – точка минимума.

(Доказательство очевидно)

Вывод. Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее производные.

Теорема.

Если в точке x0 f x0 0 и f x0 0, то точка x0 –

максимум, если f x0 0; точка x0 – минимум, если

f x0 0.

□ Пусть f x0 0.Т.к.

f x0

lim

x f

lim

x0 x

т.е.

x 0

f x0

Т.о., если x 0,

то

f x0

x 0,

если x 0 , то

f x0 x 0, точка x0 – точка максимума. ■

12.5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Сформулируем правило нахождения наибольшего и наименьшего значений y f x на a,b .

1)найти критические точки функции на a,b ;

2)вычислить значение функции в найденных критических

точках;

3)вычислить значение функции при x a и x b;

4)среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

12.6.Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Определение. График дифференцируемой функции y f x называется выпуклым вниз на a,b , если он расположен выше

любой ее касательной на этом интервале, а если ниже – выпуклым вверх. Точка графика, отделяющая части выпуклости, называется

точкой перегиба (см. на рис. 3 точку M).

		Рис. 3

Теорема. Если y		f x на a,b имеет f x 0,	то на a,b –
выпуклость вверх, если		f x 0 выпуклость вниз.

□ Пусть f x0 0	x a,b . Возьмем точку x0, тогда уравнение
касательной	yкас f x0 f x0 x x0
	yкас f x0 f x0 x x0
или		f x0 f x0 x x0 .
	yкас	f x0 f x0 x x0 .

Вычтем из y f x почленно уравнение касательной y yкас f x f x0 f x0 x x0 .

По теореме Лагранжа:						f x f x0 f c x x0 , где x0 c x,
тогда
y y		f	c x x	f x x x				f c	f x	x x .
кас			0			0	0		0		0
По теореме Лагранжа:					f c f x0 f c1 x x0 ,					x0 c1	c,
тогда					f c1 c x0 x x0 .
			y yкас
Если x x0			c x0			f c1 0		y yкас 0.
Если x x0			c x0			f c1 0		y yкас 0.			■

Теорема (достаточное условие существования точек пере-
гиба). Если f x при переходе через точку x0,									в которой f x 0
(или не существует), меняет знак, то точка x0 – точка перегиба.
□ Пусть	f x0 0 при x x0 , и						f x0 0 при x x0 . Это означает,

что слева от точки x0 – выпуклость вверх, справа – выпуклость вниз
M x , f x		точка перегиба.	■
0	0

12.7. Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Прямая x a вертикальная асимптота, если

lim f x ,	или lim	f x ,	или lim f x .
x a	x a 0		x a 0

Рассмотрим вопрос о наклонной асимптоте, имеющей уравнение y kx b.

Пусть M x, y L : y f x , тогда расстояние от точки М до касательной

d kx y b , k 2 1

но из d 0 lim

kx y b 0, т.е.

kx y b x , где x б.м.ф.

Запишем

lim

x x

Т.к.

0, и

0, то

k lim

b lim kx y .

x x

В частности,

если k 0,

то b lim f x

, т.е.

y b горизон-

тальная асимптота.

12.8. Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование y f x проводится в следующей последовательности:

1)найти область определения функции;

2)найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат;

3)найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки,

на которых f x 0

или f x 0);

4)выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего

вида;

5)найти асимптоты графика функции;

6)найти интервалы монотонности функции;

7)найти экстремумы функции;

8)найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Для того чтобы вычислить значения y f x , ее заменяют многочленом Pn x степени n.

13.1. Формула Тейлора для многочлена

Пусть

f x

x a

a x a x2

... a xn .

Представим Pn x в виде

x A A

x x

x x 2 ... A

x x n .

Для нахождения A0 , A1,...An

продифференцируем Pn x :

x A 2A

x x

3A x x

2 ... nA

x x n 1

;

P x 2A 2 3A x x ... n n 1 A

x x

n 2 ;

……………………………………………………………

P n x n n 1 ...2 1A .

Возьмем x x0 ,

тогда

x A P

x 1!A P x ,

P x

2!A

P x ,

P x 2 3A P

x ,

……………………………………………………………

Pn n x0 n n 1 ...2 1An Pn n x0 ,

т.е.

Pn x Pn x0 Pn x0 x x0 Pn x0 x x0 2 ...

1! 2!

... Pn n x0 x x0 n формула Тейлора для многочленов. n!

Источник: https://studfile.net/preview/16568692/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27