Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

и общий интеграл данного уравнения есть

C e x .

Аналогично,

если

есть

функция,

зависящая

только

от

y, то

уравнение

(1)

имеет

интегрирующий множитель

(y),

зависящий

только от y.

1.7 Уравнения, неразрешенные относительно производной

Общего метода решения уравнений, неразрешимых относительно производной, нет. Если дифференциальное уравнение F(х,у,у ) = 0 разрешимо либо относительно искомой функции у = f(x.y'), либо относительно аргумента х = f(y,y ), то оно может быть проинтегрировано путем введения параметра р = у'. Исходное уравнение перейдет в алгебраическое, дифференцируя соответственно по х или по у, получим системы уравнений

f(x, p),

f(y,p)

, или

решения

которых

находятся

явном

иди

параметрическом виде.

Рассмотрим, например, уравнение Лагранжа

у = xf(y')+ (y').

Введением параметра р=у' уравнение Лагранжа приводится к виду у = хf(р)+ (р). Дифференцируя по х, получим

y f(p) xf (p)	dp	φ (p)	dp
	dx		dx

или, после замены у' через р и алгебраических преобразований,

dx	f (p)	x	φ (p)	.
		x		.
dp	p f(p)		p f(p)

Это линейное уравнение относительно х и производной

	dx	Его общий интеграл имеет вид Ф(х,р,С)=0.

	dp
	dp

Совместно с уравнением

у = xf(y')+ (у)

он дает общий интеграл уравнения Лагранжа. Произведенное преобразование возможно лишь, если р- f(р) 0. Корни уравнения p-f(p)=0 дадут также решения уравнения Лагранжа, это особое решение, представляющее собой прямую линию. К уравнениям, не разрешенным относительно производной, приводят чаще всего различные геометрические задачи такие, как задачи об изогональных траекториях и др.

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения:

( y )2	xy	0

	a 2
	a 2

Р е ш е н и е: Разлагая левую часть уравнения на

множители получим: ( y

) * ( y

) 0

откуда y

. Оба эти уравнения

являются уравнениями с разделяющимися переменными. Их общие интегралы:

C 0 .

C 0

Поэтому

общий

интеграл

исходного уравнения имеет

вид: (

C)2

9a2

Пример 2: Найти общее решение уравнения

xysin y

впараметрической форме.

Р е ш е н и е: Положим yp ; тогда x psin p .

Равенство p dx

перепишем в форме dy					pdx, так как
	pdx	px	xdp	px		p sin pdp
px	p cos p		cos pdp			px p cos p	sin p C.
то, следовательно, y				px		p cos p sin p	C . Общее
решение запишется в следующем виде:
x	p sin p,
y	p2 sin p	p cos p		sin p		C.
	Пример 3: Найти общее решение уравнения

			y a	1	( y )2 .

Р е ш е н и е:

Положим	p	y	sht ;	тогда	y		a 1 sh2t	a * cht . Из
равенства	dy	p находим dx				dy	. Та как dy	a * shtdt,
равенства	dx	p находим dx				p	. Та как dy	a * shtdt,
	dx					p
то dx adt и x		at	C . В параметрической форме общее
решение запишется так:
		x	at	C,
		y	a * cht.

Исключим параметр p. Для этого из первого уравнения

находим t		и подставляем во второе. Имеем t		x C	и
находим t		и подставляем во второе. Имеем t		a	и
				a
y a * ch	x	C	.
y a * ch			.
		a

Пример 4: Найти общее решение уравнения:

y x( y )2

( y )2

Р е ш е н и е: Положим, что y

p . Тогда y

xp2

p 2 ,

или y (x

1) p 2 . Продифференцировав по x, имеем

2(x

1) p

После несложных преобразований получим

2(x

или

ln(x

2ln(1

2lnC.

находим: x 1

C 2

Произведя

потенцирование,

p)2

Следовательно, общее решение в параметрической форме примет вид:

C 2

p)2

C 2 p 2

p)2

Исключим параметр p. Для этого найдем выражение

ти подставим в уравнение

y (x 1) p 2 . Таким образом,

общее решение y

C)2 .

( x 1

Пример 5:Найти общее решение уравнения

, где

y .

Решение: Общее решение получаем непосредственно из уравнения заменой p на C:

y Cx	1	.
y Cx		.
	C
Для получения особого решения найдем ( p)								1	.
Для получения особого решения найдем ( p)									.
								p 2
Система уравнений
			x	1

					p 2 ,
					p 2 ,
			y		2	.
			y			.
					p
представляет			собой				особое решение в
параметрической			форме.	Исключим параметр				p. Для

этого возведем обе части второго уравнения в квадрат и

разделим	их на соответствующие части				первого
		y 2			y	2	4x .
уравнения;	получим		4 ,	откуда

		x

Источник: https://studfile.net/preview/16565560/

Смотрите также:

2731
imunnaya_s-ma1
Reyting_1_testy_vnachale
Алгоритм работы отдела транспортной логистики производственного предприятия
Аналитическая геометрия
Безопасность жизнедеятельности человека при пожарах
Бим-моделирование в программе Ренга
Естественные основания морали в свете современных научных исследований
Жанр містерії в п'єсі Томаса Стернса Еліота 'Вбивство в соборі'
Индекс жизненной удовлетворенности