Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Для того, чтобы уравнение (6.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы

x y

Если U(x,y) известна, то все решения уравнения (6.1) удовлетворяют условию U(x,y) = С. где С - произвольная постоянная. Чтобы, найти функцию U(x,у) воспользуемся равенствами

(6.2)

Интегрируя первое из них по х, определим функцию U(x,y) с точностью до произвольной дифференцируемой функции:

Дифференцируя (6.3) по у с учетом второго из равенств (6.2), получаем уравнение для определения функции

(у):

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

(sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xy dy = 0.

Р е ш е н и е. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Имеем

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

(x3 xy2 )dx (x 2 y y 3 )dy 0. (2 )

условие (2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Но это уравнение легко привести к виду du=0 непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:

Поэтому уравнение (2 ) можно записать в виде

есть общий интеграл уравнения (2 ).

Внекоторых случаях, когда левая часть уравнения

(1)не является полным дифференциалом, удаѐтся

подобрать функцию (x, y), после умножения, на которую левая часть (1) превращается в полный дифференциал

Такая функция (x, y) называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя имеем

Мы получили для нахождения интегрирующего множителя уравнения в частных производных.

Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (5), т. е. найти интегрирующий множитель.

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y, необходимо и достаточно, чтобы правая часть (6) была функцией только x. В таком случае ln найдѐтся интегрированием по х.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

(x + y2) dx – 2xy dy = 0.

Р е ш е н и е. Здесь

M = x+y2, N = - 2xy.

Имеем

Следовательно,

Уравнение

есть уравнение в полных дифференциалах. Его левую часть можно представить в виде