188 |
ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ |
[ГЛ. |
VII |
|||
сторону |
условие (7.66) обеспечивает устойчивость. |
На рис. |
79 |
|||
дана |
кривая, представляющая |
по Тэйлору границу устойчи |
||||
вости |
в |
случае г1 = 3,55 см, |
г2 — 4,035 см, |
= 1,292. |
||
Точками нанесены экспериментальные данные. |
|
|
|
|||
При |
вращении цилиндров |
в одном направлении |
потеря |
|||
устойчивости проявится в возникновении рядов вихрей в плокости меридиана, имеющих чередующиеся противоположные
Рис. 79. Граница устойчивости при течении между двумя вращающимися цилиндрами (по Тэйлору).
вращения и занимающих все пространство между цилиндрами (рис. 80). Тэйлор обнаружил возникновение этих вихрей экспериментально, помещая вдоль внутреннего цилиндра тонкий слой окрашенной жидкости; краска располагалась по кольцам, окружающим вихревые области (заштрихован ная зона).
При вращении цилиндров в разных направлениях появляются два ряда вихрей с противоположным вращением (рис. 81). Краска распределяется так, как указано на рисунке (заштри ховано).
Таким образом, получается |
поразительное качественное |
и количественное совпадение теории с опытом. |
|
На основании проведенного |
Тэйлором анализа была вы |
числена также критическая скорость, при которой начинают образовываться вихри в случае вращения внутреннего
Рис. 80. Картина линий тока вторичного течения между двумя соосными цилиндрами, из которых внутренний вра щается, а наружный неподвижен (по Тэйлору).
Рис. 81. Картина линий тока вторичного течения между двумя со осными цилиндрами, вращающимися в различных направлениях (по Тэйлору).
190 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
цилиндра. При малом отношении Га - Г1 эта скорость вычи
сляется по |
формуле |
|
|
|
2 pg ГгЮ1(Г2~~Г1)1 |
+ 1g 11=21 = 3,232. |
(7.71) |
||
L |
v |
JBp |
И |
|
Замерыподтвердили справедливость этого соотноше ния (рис. 82). На этом же рисунке показана кривая, соответт
Рис. 82. Критические значения числа Рейнольдса: а —при вра щении внутреннего цилиндра = b — при вращении на ружного цилиндра (г*й=/'асо2) (по Тэйлору).
ствующая опытным данным для критической скорости при вращении внешнего цилиндра.
Для оценки отношения Га - г-~, при котором на крити
ческую скорость уже не влияет то обстоятельство, вращается ли наружный или внутренний цилиндр, продолжаем влево кри-
!) Taylor G., Fluid friction between rotating cylinder, Proc. Roy. Soc. (A), t. 157, 1936.
л 22
§ |
43] |
устойчивость течения |
|
|
191 |
|||
вую двумя вероятными линиями, |
как показано |
на |
рис. 82, |
|||||
до |
пересечения с |
нижней линией |
в |
точках |
и |
Х2, соот |
||
ветствующих r- г |
г* = 10~3 |
и |
0,5- 1СП3. |
|
|
|||
|
Это означает, что при достаточно малом зазоре г2 — r1 = s, |
|||||||
таком, что s/r1 |
0,5 • 10-3, |
получаются |
гидродинамические |
|||||
условия, близкие |
к случаю течения между двумя плоскостями. |
|||||||
|
Гольдштейн1) |
рассмотрел |
задачу |
об |
устойчивости лами |
|||
нарного потока между двумя цилиндрами при вращении внутреннего цилиндра и осевом течении в зазоре.
Опыты по определению критической скорости в случае такого смешанного потока проводились Корниш2)43 и Фейджем3). Сводка результатов их опытов в сопоставлении с тео ретическими данными Тэйлора и Гольдштейна изображена на рис. 834). Величина Va обозначает среднюю осевую ско рость в зазоре, а величина Ve— эффективную скорость,
определяемую формулой Пе =
Кроме вихрей, обнаруженных Тэйлором при потере устойчивости ламинарного течения, Пай6) наблюдал вихри, образующиеся при турбулентном режиме в результате вто ричных течений.
В последнее время Кэй и Эльгар6) провели детальное исследование вихреобразований в зазоре между двумя ци
линдрами |
при вращении |
внутреннего цилиндра |
и осевом |
4) С о 1 |
d s t е i n S., The |
stability of viscous fluid |
flow between |
rotating cylinders, Proc. Cambr. Philos. Soc., t. 33, 1937.
2) Cornish R., Flow of water trough five clearances with re lative motion of the boundaries, Proc. Roy. Soc. (A), t. 140, 1933.
3) F a g e A., The influence of wall oscilations, wall rotation and entry eddies of the breakdown of laminar flow in a pipe, Proc. Roy. Soc. (A), t. 165, 1933.
4) Заимствовано из работы Gasley C., Heattransfer charac teristics of the rotation and axial flow between concentric cylinders, Trans, of the ASME, t. 30, № 1, 1958.
5) S h i h I Pai, Turbulent flow between rotating cylinders, NACA TN 892, 1943.
в) К a у e |
J., |
Elgar E. |
C„ |
Modes of adiabatic and diabatic |
fluid flow in |
an |
annulus with |
an |
inner rotating cylinder, Trans, of |
the ASME, t, 80, № 3, 1958.
192 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
течении. Если уравнение (7.71) записать при малом s/iy в виде:
|
1 |
з |
|
то заметим, что |
потеря |
устойчивости |
ламинарного те ■. |
характеризуется |
безразмерным числом |
Г1’2 83/2 <0 |
|
----------- , которое |
|||
Рис. 83. Критическая скорость при течении в зазоре между вращающимися внутрен ним и неподвижным внешним цилиндрами в зависимости от соотношения между осевой и окружной скоростью в зазоре.
в честь Тэйлора названо числом Тэйлора. |
В случае боль |
|||||
шого зазора вместо радиуса |
внутреннего цилиндра /у удоб |
|||||
нее взять |
для |
составления |
числа Тэйлора |
средний радиус |
||
1 . . . |
|
|
|
|||
2 (О—I- ''г)’ |
|
|
|
|||
Оказывается, что режимы течения в зазоре характери |
||||||
зуются |
двумя |
числами: числом |
Рейнольдса для осевого те- |
|||
чения |
9 у s |
и |
числом Тэйлора |
s3'2 <о |
|
|
° |
----- ------ . Кэй и Эльгар про |
|||||
вели наблюдения режимов течения при разных значениях, указанных критериев с помощью термоанемометров и
§ 44] ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ЦИЛИНДРА 193
фотографирования. Оказывается, что существуют четыре
режима течения: |
1) |
чисто |
ламинарное; |
2) |
ламинарное |
с вихрями Тэйлора; |
3) |
чисто |
турбулентное; |
4) |
турбулентное |
1з
22
и Тэйлора —— ------: / — зона чисточламинарного течения; // — ламинарное течение
с вихрями Тэйлора;/// — чисто турбулентное течение; /V —турбулентное течение
сзавихрениями (по Кэю и Эльгару).
сзавихрениями. Характерное распределение этих областей течения в зависимости от критериев Рейнольдса и Тэйлора представлено на рис. 84.
§44. Турбулентное течение вокруг вращающегося
цилиндра
Наиболее естественным для построения теории турбулентного течения несжимаемой вязкой жидкости вокруг вращающегося цилиндра является обобщение уравнения (7.3)
— (7.72)
Р
путем введения кинематического коэффициента турбулентной вязкости е в виде
ег |
(7.73) |
Р
13 Зак. 944. Л. А. Дорфман
194 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
При этом следует еще определить закон изменения е в области течения. В соответствии с теорией турбулентного
течения |
около |
плоской |
стенки |
турбулентная вязкость про |
порциональна расстоянию у от |
стенки: |
|||
|
|
|
|
(7.74) |
Здесь |
= |
у, а |
■/. — константа турбулентности. Для |
|
того чтобы вблизи стенок внутреннего и наружного цилинд ров сохранялось это соотношение, естественно положить
|
|
|
± = х |
(г—Н) |
|
(7.75) |
|
|
|
|
v„ |
|
гз — Г1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где /j — радиус |
внутреннего |
вращающегося цилиндра, а г2— |
|||||
радиус наружного неподвижного цилиндра. |
|
|
|||||
С учетом уравнения |
сохранения момента сил трения (7.2), |
||||||
которое можем записать |
еще в виде |
|
|
||||
|
|
|
|
Ч/ = г’*1г1- |
|
(7.76) |
|
получим |
из |
уравнений (7.73) |
и (7.75): |
|
|
||
|
|
|
д / |
|
M's—Н) |
|
(7.77) |
|
|
|
дг \ г ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После интегрирования отсюда получаем: |
|
|
|||||
Г У,л |
\ |
Гъ/ Г |
L |
\Т3/ J |
|
|
|
|
|
|
-М31п(г2 — г)+1п(г — гх) + С. |
(7.78) |
|||
|
|
|
\' 2 ' |
|
|
|
|
Из рассмотрения опытных данных Ваттендорфа1) и Тэй- |
|||||||
лора2) |
характер |
распределения относительных |
скоростей |
||||
в пристеночных |
слоях вблизи цилиндров сходен |
с |
характе |
||||
ром распределения скоростей в ламинарном подслое при обтекании плоской пластинки, т. е. имеет линейный характер.
1) Wattendorf F., A study of the effect of curvature on fully developed turbulent flow, Proc. Roy. Soc. (A), t. 148, № 865, 1935.
2) Taylor O., Distribution of velocity and temperature between concentric rotating cylinder, Proc. Roy. Soc. (A), t. 151, № 874.
§ |
44] |
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ЦИЛИНДРА |
195 |
||||
Поэтому на границах ламинарных подслоев скорости |
опре |
||||||
деляется |
выражениями: |
|
|
|
|
||
|
|
= |
a®»i. |
^2.1 = |
|
(7-79) |
|
а |
соответствующие |
толщины |
этих |
подслоев будут |
равны |
||
|
|
|
а\ |
* |
av |
аУГз |
(7.80) |
|
|
|
----. |
Оол---------- |
---- ------- > |
||
|
|
|
|
|
v*2 |
vi* ri |
|
где а—некоторая постоянная, которую мы полагаем одина ковой для обоих цилиндров.
Подставив значения скорости (7.79) и толщин (7.80) в уравнение (7.78), получим после исключения постоянной С уравнения, определяющие распределение скоростей и закон сопротивления.
Для закона сопротивления вращающегося цилиндра по лучаем:
Распределение скоростей определяется формулой
Постоянные к и а определим из опытных |
данных Ват |
|
тендорфа J), а затем проверим их приемлемость по другим |
||
опытным данным. Построим величину у |
в |
зависимости |
от значений f—правой части формулы (7.78) |
без постоян |
|
ной С — по замеренным величинам скоростей в зазоре между вращающимся внутренним цилиндром радиуса 200 мм и не
подвижным соосным |
наружным |
цилиндром радиуса 254 |
мм |
(рис. 85). Значения |
подставлялись согласно опытным дан |
||
ным Тэйлора2*) о |
напряжении |
трения т вращающихся |
ци |
линдров. |
|
|
|
1) (2м. сноску 1) на стр. 194. 2) См. сноску на стр. 190.
13*