196 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
Полученные графики, за исключением пристеночных участков, близки к прямым. Тангенс угла наклона этих пря-
Рис. 85. Распределение скоростей между соосными цилин драми при вращении внутреннего цилиндра (согласно опыт ным данным Ваттендорфа).
мых равен 1/х—2,5, т. е. х —0,4, как для случая турбу лентного течения вблизи плоской стенки. Другую постоян ную, а, можно определить по координате точек пересечения указанных прямых с прямой/=0. При этом, согласно (7.82),
§ 44] |
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ. ВОКРУГ ЦИЛИНДРА |
197 |
получим следующее уравнение для определения постоянной а:
v \ |
I v |
|
|
х — ) |
= — х------- а |
|
|
|
1 \ |
In |
(7.83) |
|
|
|
При окружной скорости ^ = 36,4 м/сек вращения внут реннего цилиндра в воде (v %10 м.2/сек), согласно опытным данным Тэйлора, будем иметь ^/^=45,2, а точка пересе
чения |
с /=0 дает |
здесь (см. рис. 85) — — = 14,5. В этом |
||
случае |
уравнение |
|
г |
|
(7.83) дает решение а да 8. |
= 42,2, |
|||
При скорости |
т'1 |
= 22,8 м/сек будем иметь |
||
^y^-j=13,7, так что уравнение (7.83) дает ая^7. Следо
вательно, среднее значение постоянной а равно 7,5. Положим в формулах (7.81) и (7.82) значения постоян
ных х = 0,4, а =7,5 и сравним результаты расчетов по этим формулам с известными опытными данными.
Рассмотрим результаты замеров Тэйлора х) распределения
скоростей |
воздуха в |
пространстве |
между вращающимся |
с угловой |
скоростью |
w = 252 \/сек |
цилиндром радиуса |
rY = 2,062 см и неподвижным цилиндром радиуса г2 = 4,035 см. На рис. 86 кружочками отмечены скорости, определенные с помощью замеров трубкой полного давления диаметром 0,48 мм, а квадратиками обозначены скорости, полученные при экстраполяции на нулевую толщину трубки. Сплошная линия, обозначающая результат расчета (при х=0,4; а = 7,5), располагается в достаточной близости от опытных точек. Учитывая трудности замеров в малом зазоре между цилинд рами и то, что скорости определялись расчетом по замерам полных давлений, следует признать удовлетворительным со гласование между теорией и опытом.
Удовлетворительное соответствие имеется также между расчетными и опытными значениями коэффициентов сопро тивления вращающихся цилиндров. На рис. 87 представлены опытные значения t2/pv| = (^/^г)2 (т2 — напряжение трения на внешнем цилиндре, T/2 = r2(U — относительная скорость
1) См. сноску 2) на стр. 194.
198 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
вращения внешнего цилиндра), полученные Тэйлором *) в ре зультате замеров крутящего момента. Для каждого значения относительного зазора s/r2 получены отдельные кривые; сплошные линии соответствуют случаю, когда вращается внутренний цилиндр, а пунктирные линии — случаю, когда
Рис. 86. Сравнение замеренных и вычисленных скоростей в за зоре между вращающимися в воздушной среде цилиндром ра диуса fj ==2,062 см и наружным неподвижным цилиндром ради уса г2=4,035 см. Сплошная линия получена расчетом по фор муле (7.82); опытные точки—по замерам Тэйлора при ш—252 сек-1.
вращается внешний цилиндр. Прямые, расположенные под 45° к осям, соответствуют теоретическим результатам для лами нарного режима [формула (7.10)].
Влияние устойчивости, которая характеризует движение в случае вращения внешнего цилиндра, сводится к уменьше нию трения. Неустойчивость, вызываемая кривизной при вра щении внутреннего цилиндра, по-видимому, не оказывает влияния на сопротивление. Опытные значения при этом близки
1) См. сноску на стр. 190.
§ 44] ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ЦИЛИНДРА 199
к расчетным, подсчитанным по формуле (7.81); последние изображены штрих-пунктирными линиями. Наибольшее раз личие имеется в зоне перехода от ламинарного к турбулент ному режиму.
Рис. 87. Напряжения трения т2 на внешнем цилиндре для вращающихся
соосных цилиндров по опытам Тэйлора: ----- |
при вращении внутреннего ци |
||||
линдра (£/3 = ^/2);----------------- |
при вращении внешнего цилиндра |
|
|||
— . — .—расчет по |
формуле (7.81) |
при |
вращении внутреннего цилиндра |
||
(7—при s/r2~0, // — при s/ra —0,09, |
///— при s/r2 = 0,23); |
светлые кружки — |
|||
|
опытные точки Куэтта. |
|
|
||
Вращение цилиндра в неограниченном про |
|||||
странстве. Рассмотрим случай вращения |
цилиндра |
в не |
|||
ограниченном пространстве. |
Переходя в |
формуле |
(7.81) |
||
к пределу при г2 —> оо, получим следующее выражение для закона сопротивления:
х^1=ха— 1 + 1п(1 +^1’). |
(7.84) |
При больших числах R = —-
200 |
ВРАЩЕНИЕ |
КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ |
[ГЛ. VII |
|
так |
что формула (7.84) примет (при у. = 0,4, а =7,5) вид: |
|||
|
|
-L = — 0,6+ 4,07 lg RK^, |
(7.85) |
|
где Cy>=—;— ----- -—коэффициент сопротивления. |
|
|||
|
* |
2 |
2 |
|
|
у Prl |
“1 |
|
|
|
Именно |
в |
таком виде Теодорсен и Регир г) |
получили |
формулу, интерполирующую результаты их опытов (рис. 88). Турбулентное течение Куэтта. Другой пре дельный случай получается при гр г2—>-оо. Этот случай
относится |
к |
течению между |
двумя параллельными стенками, |
||||
из которых |
одна |
неподвижная, а другая движется в |
своей |
||||
плоскости |
с |
постоянной скоростью |
(течение Куэтта). Из |
||||
уравнения |
(7.76) |
следует, |
что 14= const между стенками. |
||||
Формула |
сопротивления |
(7.81) при |
таком |
течении |
при |
||
нимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у.^- = 2'/.а + 21п^-, |
|
(7.86) |
||
где s = r2— ri—’расстояние |
между стенками. |
При а =7,5, |
|||||
х =0,4 эта |
формула представляется следующим образом: |
||||||
|
^ = 4,94+H,51g^Rs, |
Rs = S-^. |
(7.87) |
||||
Распределение скоростей (7.82) при rlt г2—>оо будет выражаться формулой
что с учетом (7.87) даст следующее выражение:
2
— = -^21 — 5,751g—2—, |
(7.88) |
|
2 |
1—2 |
|
|
s |
|
где у = г.— — расстояние от движущейся стенки. Рейхардт2*) замерял профили скоростей при течении
Куэтта. |
До некоторого критического |
значения числа |
х) См. |
сноску 1) на стр. 21. |
|
2) Reichardt Н., Ober die Geschwindigkeitsverteilungin einer |
||
geradlinigen turbulenten Cuettestromung, ZAMM, |
1956, Sonderheft. |
|
ЦИЛИНДРА ВОКРУГ ТЕЧЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ ] 4 4 §
Рис. 88. Коэффициент трения гладкой поверхности-вращающегося цилиндра в зависимости от числа Рейнольдса (по опы там Теодорсена и Регира): 1 — ламинарное течение,'/у. — 4/R; 2 — турбулентное течение, по формуле (7.85).
Ю
О
202 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
Рейнольдса (RsXp = 3000 профили скоростей имеют линейный характер, что соответствует простому ламинарному течению Куэтта. Затем с увеличением чисел Рейнольдса профили ско ростей начинают искривляться (рис. 89).' Сплошными линиями для чисел Рейнольдса Rs = 36 000 и Rs = 5800 обозначены
Рис. 89. Профили скоростей при течении Куэтта. Опытные точки полу чены по замерам Рейхардта, сплошные линии — по формуле (7.88).
результаты вычислений по |
формуле (7.88) при |
законе со |
|
противления (7.87). При достаточно |
больших числах Рей |
||
нольдса получается хорошее |
соответствие между |
опытными |
|
и расчетными данными. |
|
|
|
Влияние шероховатости. |
Теодорсен |
и Регир |
|
изучили влияние шероховатости на сопротивление трения цилиндра, вращающегося в неограниченном пространстве1). На рис. 90 приведены результаты измерений коэффициента сопротивления для случая предельно плотной песочной ше роховатости. Эти результаты согласуются с теми предста-
!) См. сноску на стр. 21.
ЦИЛИНДРА ВОКРУГ ТЕЧЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ 44] §
Рис. 90. Коэффициент трения вращающегося цилиндра, покрытого предельно плотвой песочной шероховатостью: 1 — глад кий цилиндр, ламинарное течение; 2 — гладкий цилиндр, турбулентное течение (по Теодорсену и Региру).
203
204 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
влениями, которые получены для сопротивления шероховатых труб и пластинок. Как только величина k бугорков шерохо ватости становится соизмеримой с толщиной ламинарного под слоя 8Л, начинается проявление шероховатости. Величина 8Л про
порциональна отношению поэтому естественно, что кри тическая величина бугорка шероховатости также пропор циональна v/vtl. Опыты с тру бами и пластинками дают для множителя пропорциональности
значение 3,3, т. е. Акья^3,3—.
г
Это, с другой стороны, озна чает также, что для данной ве личины шероховатости k кри
тическим значением |
для вели- |
чин vwl/v является |
I _ |
|
кр |
Рис. 91. Сопротивление вращающегося шероховатого цилиндра: 1 — по форму ле (7.89), Q —по опытам Теодорсена и Регира.
Так как с началом проявле ния шероховатости сопротив ление практически перестает зависеть от числа R, то оно должно определяться форму лой (7.85) для критического значения Подстановка
этого значения в указанную формулу дает следующий закон сопротивления:
4=- = — 0,6 + 4,07 1g 3,3 /2 $ = 2,12 -ф-4,071g |
(7.89) |
|
у |
й |
й |
Полученный |
результат хорошо согласуется с |
опытными |
данными, как это видно из рис. 91.
При изменении плотности насыщения зернами шерохо ватости поверхности вращающегося цилиндра кривая сопро тивления 1g Су, уже перестает быть параллельной оси 1g R,
а принимает |
определенный наклон (рис. 92), тем больший, |
чем меньше |
плотность насыщения поверхности зернами ше |
роховатости, |
постепенно приближаясь к кривой для гладкого |
цилиндра. Все данные, приведенные на рис. 92, получены Теодорсеном и Региром при одинаковой относительной