Материал: Экономико-математические методы и модели. Гасилов В.В., Околелова Э.Ю
d(P ×Q) |
= 7,642 −0,002 ×Q; |
dC |
= 2,375; |
(4.8) |
dQ |
|
dQ |
|
|
7,642 −0,002 ×Q = 2,375, т.еQ = 2633,5. |
(4.9) |
|||
Оптимальный объем выпуска продукции составляет 2634 шт. Зная размер выпуска, можно определить цену продукта, выручку, прибыль и издержки производства. Результаты расчетов представлены в табл. 4.2. В ней для сравнения приведены также фактические данные предприятия за 6-й год.
Таблица 4.2 Сравнительные данные об объемах производства по результатам
предельного анализа
¦Значения |
Количество |
Цена ед. |
Себестоимость |
Выручка |
Прибыль |
|
товара(Q) |
продукта (Р), |
(С), |
(P×Q), |
(R), |
|
шт. |
тыс.р. |
тыс.р. |
тыс.р. |
тыс.р. |
|
|
|
|
|
|
Фактическое |
2695 |
4,764 |
10137 |
12839 |
2702 |
6-й год |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оптимальное |
2634 |
5,009 |
10158 |
13191 |
3033 |
|
|
|
|
|
|
Отклонение |
- 61 |
1,245 |
21 |
352 |
331 |
Отклонение,% |
2,3 |
5,1 |
0,2 |
2,7 |
12,3 |
Применение предельного анализа показывает, что у предприятия имеются возможности увеличить прибыль на 331 тыс.р. за счет увеличения цены выпускаемой продукции при незначительном сокращении объемов производства. При этом затраты предприятия возрастут всего на 21 тыс.р., или на 0,2%, а прибыль возрастет на 331 тыс.р., что составляет 12,3% от фактической прибыли за 6-й год. Следовательно, предприятие может в перспективе придерживаться стратегии, направленной на выпуск продукции, пользующейся спросом, по более высокой цене, но в меньшем количестве.
4.2. Оптимизация прибыли методами математического программирования
Метод оптимизации прибыли, основанный на предельном анализе, может быть реализован в тех случаях, когда фирма производит один вид товара или услуг. Однако в большинстве случаев производство не ограничивается выпуском товаров одного вида, а выпускаются товары определенной номенклатуры.
Оптимизация по каждому виду товара будет некорректной, поскольку ограниченные ресурсы используются для производства различных товаров или услуг. С применением методов математического программирования можно распределить имеющиеся ресурсы по направлениям деятельности с
51
максимизацией экономического результата. Решение задачи по определению оптимальных финансово-экономических показателей выполним в 2 этапа.
Этап 1. Экономико-статистическое моделирование. На этом этапе необходимо получить линейные регрессионные уравнения, используемые в дальнейшем в качестве целевой функции и ограничений.
Этап 2. Оптимизация финансово-экономических показателей методами линейного программирования. На этом этапе определяются оптимальные параметры предприятия и оценивается их отклонение от фактических значений.
Определим оптимальное значение прибыли исходя из условия, что производится 2 вида товара величиной Q1 и Q2 по цене Р1 и Р2. Исходные данные для решения представлены в табл. 4.3.
Построим регрессионное уравнение вида
|
|
R = a1 ×Q1 +a2 ×Q2 +a3 ×P1 +a4 ×P2 +a5 ×C +a6 ×V, |
(4.10) |
||||||||
|
где Q1 - количество единиц товара 1-го вида; |
|
|
|
|
||||||
|
Q2 - количество единиц товара 2-го вида; |
|
|
|
|
||||||
|
R |
- прибыль; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
- стоимость единицы товара 1-го вида; |
|
|
|
||||||
|
P2 - стоимость единицы товара 2-го вида; |
|
|
|
|||||||
|
C - себестоимость произведенной продукции; |
|
|
|
|||||||
|
V - выручка от реализации произведенной продукции. |
|
|
|
|||||||
|
|
Исходные данные для решения задачи оптимизации |
Таблица 4.3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
Q1 |
Q2 |
|
P1 |
P2 |
C |
|
V(P1×Q1+P2×Q2) |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
980 |
994 |
|
5.1 |
5.65 |
8340 |
|
10610 |
|
2270 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
985 |
1017 |
|
5.2 |
5.80 |
8400 |
|
11023 |
|
2800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1012 |
1165 |
|
5.25 |
5.74 |
9600 |
|
12002 |
|
2350 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1204 |
1213 |
|
4.6 |
5.533 |
9850 |
|
12149 |
|
2100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1250 |
1355 |
|
4.2 |
5.277 |
9940 |
|
12400 |
|
2320 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1307 |
1388 |
|
4.3 |
5.2 |
10100 |
|
12839 |
|
2750 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1310 |
1400 |
|
4.2 |
5.1 |
9960 |
|
12500 |
|
2640 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1280 |
1410 |
|
4.3 |
5.2 |
9980 |
|
12750 |
|
2720 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты расчета представлены на рис. 4.3.
52
Рис. 4.3. Результаты регрессионного анализа зависимости прибыли от влияющих на нее факторов
Регрессионное уравнение зависимости прибыли от влияющих на нее факторов имеет вид
R = 0,98×Q1 + 0,69 ×Q2 +528,4 × P1 − 413,85× P2 −1,43×C +1,16 ×V. |
(4.11) |
В качестве одного из ограничений строится регрессионное уравнение |
|
зависимости, связывающей выручку от реализации с влияющими на нее факторами:
V = a1 ×Q1 +a2 ×Q2 +a3 ×P1 +a4 ×P2 , |
(4.12) |
где Q1 - число единиц товара 1-го вида; |
|
Q2 - число единиц товара 2-го вида. |
|
Уравнение регрессии: |
|
V =1,87 ×Q1 +5,25×Q2 + 774,2× P1 −31,86× P2 . |
(4.13) |
На 2-ом этапе реализуется экономико-математическая модель, которая имеет следующий вид. Целевая функция: прибыль от реализации продукции должна быть максимальной.
53
n
R = ∑a j ×x j → max, (5.14)
j=1
где aj - коэффициент при j-ой переменной; xj - значение j-ой переменной,
определяемое в процессе решения задачи.
Для решаемой задачи целевая функция имеет вид
300,35×x3 −377,57×x4 −1,8×x5 +1,69×x6 → max. |
(4.15) |
Ограничения:
1.Зависимость между объемом реализации продукции и влияющими на него факторами
m |
|
∑ai ×xi −xi+1 = 0. |
(4.16) |
i=1 |
|
Для решаемой задачи это ограничение имеет вид |
|
1,87 × x1 +5,25× x2 + 774,2 × x3 +31,84 × x4 − x6 = 0. |
(4.17) |
2. Значение каждой переменной не ниже минимально необходимого и не выше максимально допустимого:
|
|
|
Djmin |
≤ x j |
≤ Djmax , |
|
|
(4.18) |
|||
|
|
|
900 ≤ x1 ≤1500, |
|
|
(4.19) |
|||||
|
|
|
900 ≤ x2 |
≤1500 , |
|
|
(4.20) |
||||
|
|
|
5.0 ≤ x3 ≤ 5.5, |
|
|
(4.21) |
|||||
|
|
|
5.5 ≤ x4 ≤ 6.0 , |
|
|
(4.22) |
|||||
|
|
|
10000 ≤ x5 |
≤11000 , |
|
|
(4.23) |
||||
|
|
|
12000 ≤ x6 ≤12500 . |
|
|
(4.24) |
|||||
|
|
|
Симплекс-матрица задачи |
Таблица 4.4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Номер |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
|
Х4 |
|
Х5 |
Х6 |
Вид |
Правая |
|
строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
связи |
часть |
|
F |
0,98 |
0,69 |
528,4 |
|
-413,85 |
-1,43 |
1,16 |
→ |
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1,87 |
5,25 |
774,2 |
|
-31,86 |
|
|
-1 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
900 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
≥ |
900 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
≤ |
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
≥ |
5,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
≤ |
5,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
≥ |
5,.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
≤ |
6,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 4.4
Номер |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
Х6 |
Вид |
Правая |
строки |
|
|
|
|
|
|
связи |
часть |
10 |
|
|
|
|
1 |
|
≥ |
10000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
1 |
|
≤ |
11000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
1 |
≥ |
12000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
1 |
≤ |
12500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет можно произвести с помощью окна «Поиск решения» из пункта меню «Сервис» процессора электронных таблиц EXCEL. Исходные данные представлены на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Исходные данные для расчета
Далее осуществляется ввод исходных данных в окно «Поиск решения»
(рис. 4.5).
55