Материал: Ершова Теория и моделирование структуры и характеристик 2012

Рис. 5.3. Смещения атомов в окрестности вакансии в ГЦК никеле для различных кристаллографических направлений, рассчитанные с использованием решений уравнения классической теории упругости (уравнения (3.2), (3.3)) и полученные при моделировании (потенциал [32])

Кроме того, из рис. 5.2 и 5.3 видно, что по разным кристаллографическим направлениям смещения атомов кардинально различаются даже в пределе одной координационной сферы. Так, например, атомы, расположенные по направлению <111> на расстоянии порядка четырех параметров решетки от дефекта, смещаются к вакансии примерно на 0.03% от параметра решетки, а атомы, расположенные по направлению <100> на таком же расстоянии от дефекта, смещаются от вакансии примерно на 0.003% от параметра решетки. Таким образом, смещения атомов по разным кристаллографическим направлениям различаются не только по абсолютной величине, но и по знаку. Хотя эти различия уменьшаются с увеличением расстояния от дефекта (см. рис. 5.2), необходимость более точного определения атомной структуры требует, с одной стороны, увеличения количества атомов в расчетной ячейке, а с другой – уточнения смещений атомов в упругой среде, окружающей расчетную ячейку (например, учет кубически-симметричного решения

52

уравнения равновесия теории статической изотропной упругости

(см. рис. 5.2)).

Как видно из графиков, представленных на рис. 5.2, результаты расчета смещений атомов в окрестности вакансии в ОЦК железе по сумме двух слагаемых решения уравнения равновесия теории изотропной упругости (т.е. с учетом кубически симметричного слагаемого) гораздо лучше согласуются с результатами вариационного расчета.

Хотя подобная ситуация наблюдается и для плотноупакованной ГЦК структуры (см. рис. 5.3), но, как показали предварительные оценки зависимости характеристик вакансий от размера расчетной ячейки, здесь достаточно использовать только сферическисимметричное решение (3.2) при расчете смещений атомов в упругой среде уже при радиусе расчетной ячейки в восемь параметров решетки.

Важной особенностью модели является самосогласованная итерационная процедура расчета констант C1 и, для ОЦК структур, С2 и моделирования атомарной структуры в кристалле с дефектом. Константа С1 рассчитывается на основании результатов моделирования смещений атомов в расчетной ячейке для сферического слоя, находящегося примерно посередине между дефектом и границей расчетной ячейки, путем их усреднения:

, (5.1)

где Nl – число атомов в сферическом слое, uix, uiy, uiz – проекции

стояние от i-го атома до дефекта. Константа С1, рассчитанная на предыдущем шаге итерационной процедуры, используется для определения смещений атомов упругой среды. Затем заново проводится релаксация атомов первой зоны и вычисляется константа С1.

В ОЦК решетке, после того как С1 сойдется к определенному значению, константа C2 находится из уравнения (3.3) на основании разности между смещениями атомов, полученными после их релаксации, и смещениями, рассчитанными из уравнения (3.2) с использованием найденной константы C1. Так как слагаемое с кубической симметрией в смещениях атомов убывает быстрее с рас-

53

стоянием от дефекта, то для расчета константы С2 используются смещения атомов, расположенных ближе к дефекту, чем атомы описанного выше сферического слоя (IV, рис. 5.1). Причем константа С2 рассчитывается по смещениям атомов, расположенных по направлению <100> от вакансии, так как из выражения (3.3) следует, что слагаемое с кубической симметрией вносит максимальный вклад в смещения именно этих атомов. После расчета константы С2 атомы второй зоны смещаются уже с учетом двух констант: С1 и С2. Эта процедура повторяется до тех пор, пока обе константы не сойдутся к некоторым значениям. Схематически данный алгоритм можно представить в виде, приведенном на рис. 5.4.

Рис 5.4. Схема итерационной процедуры

Получена устойчивая сходимость по константам С1 (рис. 5.5) и С2 при различных начальных значениях, причем константа С2 сходится за меньшее число итераций.

54

Рис. 5.5. Сходимость константы С1 к некоторому значению за несколько итераций

Рис. 5.5 показывает, что константа С1 сходится к одной и той же величине не зависимо от первоначально заданного для нее значения.

5.3. Дивакансии и междоузельные атомы

Предварительные результаты расчетов, проведенных для железа с использованием потенциала Джонсона [19], показали, что смещения атомов в системе с междоузельным атомом (рис. 5.6) различаются не только по разным кристаллографическим направлениям, но и для кристаллографических направлений одного типа. Из-за значительного нарушения кубической симметрии в системе смещения атомов второй зоны определяются на основании только сферически-симметричного решения уравнения статической изотропной упругости (3.2).

55