Материал: Ершова Теория и моделирование структуры и характеристик 2012
где – расстояние до дефекта, – константа. Следующее слагаемое этого ряда с кубической симметрией обычно записывают в виде [17]:
, |
(3.3) |
где – константа. Третье слагаемое с цилиндрической симметрией в цилиндрических координатах можно записать [17]:
. (3.4)
Здесь – также некоторая константа. Остальные слагаемые быстрее убывают с расстоянием, поэтому здесь не приводятся.
Итак, объем, ограниченный поверхностью S, изменяется на величину [16]:
. |
(3.5) |
Изменение объема определяется только сферическисимметричным слагаемым решения уравнения статической изотропной упругости , так как остальные слагаемые убывают быстрее с расстоянием от дефекта и не дают прямого вклада в изменение объема. Таким образом, изменение объема при образовании дефекта, связанное с релаксацией решетки, линейно зависит от константы С1.
Таким образом, когда в кристалле происходит релаксация, любая сферическая поверхность с центром в месте расположения дефекта, удерживаемая окружающими атомами, сжимаясь (или расширяясь), уменьшает (увеличивает) объем на величину . Искажения в расположении атомов вокруг дефекта приводят к возникновению напряжений во всем кристалле. Однако поверхность кристалла должна быть свободна от напряжений, и для уравновешивания поверхностных сил, вызванных полем напряжений, порождаемым дефектом, на поверхности кристалла необходимо приложить дополнительные силы изображения. Эти силы дадут добавочный вклад в величину объема релаксации [16]. Таким образом:
(3.6)
26
Объем можно вычислить в рамках теории упругости при помощи методов, разработанных Эшелби [16]. Так как в однородной изотропной среде или материале с кубической решеткой изменение объема, вызванное объемными силами с плотностью f и поверхностными усилиями Т, можно записать [16]:
|
|
|
|
|
, |
(3.7) |
|
|
|
||||
то изменение объема |
, связанное со смещением |
, получается |
||||
подстановкой в это уравнение выражения для поверхностных сил
– , где – коэффициент Пуассона, ин-
дексы – обозначают проекции на различные направления (оси координат). Тогда:
. (3.8)
Так как – однородная функция степени -2, то этот интеграл равен удвоенному интегралу (3.5), взятому со знаком минус и
|
|
|
|
|
|
. |
(3.9) |
|
|
|
|||||
Полное изменение объема: |
|
||||||
|
, |
|
|
(3.10) |
|||
где |
|
– поправка Эшелби [16]. |
|
||||
|
|
||||||
С помощью вариационного метода можно показать, что в анизотропном случае выражение (3.9) приблизительно верно, если рас-
считывается через упругие константы с , с , с |
следующим об- |
||||||
разом [18]: |
|
||||||
|
|
|
|
. |
(3.11) |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
27
3.2. Модель Джонсона
Джонсон разработал модель [17,19], позволяющую рассчитывать характеристики образования и миграции точечных дефектов, основанную на атомарном моделировании и некоторых результатах теории упругости. В модели, используемой Джонсоном, кристаллическая решетка представлена кристаллитом (область I, рис. 3.1), в котором атомы взаимодействуют друг с другом в соответствии с выбранным потенциалом взаимодействия и могут быть относительно подвижны. Атомы в этом кристаллите определяют так называемую расчетную ячейку. Расчетная ячейка в модели Джонсона окружена пограничной областью, необходимой для моделирования неподвижного "остатка" кристалла. Полагают, что атомы в пограничной области погружены в упругую сплошную среду. Смещения атомов в упругой сплошной среде находятся на основании решений уравнения равновесия статической изотропной теории упругости (3.1). Эти смещения зависят от положения атома в решетке, т.е. являются функцией расстояния от дефекта . Дальнейшее "дробление" упругой среды выполняется на основе предположений об области действия межатомных сил. В связи с этим все атомы в сплошной среде, находящиеся внутри области действия силы одного или более атомов в расчетной ячейке, приписываются к об-
ласти II, а все атомы, расположенные далее, – к области III
(рис. 3.1) [17,19].
Рис. 3.1. Схема расчетной ячейки в модели Джонсона:
I – атомы расчетной ячейки; II – атомы упругой среды, взаимодействующие с атомами области I; III – атомы упругой среды, не взаимодействующие с атомами области I
28
Первоначально Джонсон и Браун считали, что смещение атома
сплошной среды является суммой нескольких первых решений уравнения упругости (3.1) [17]:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(3.12) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(3.13a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(3.13b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(3.13c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.13d) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь |
– есть сферически симметричное решение, а |
и |
||||||||||||||
соответствуют нерадиальным решениям: |
– решение с куби- |
|||||||||||||||
ческой симметрией, в то время как |
и |
– цилиндрически сим- |
||||||||||||||
метричное решение (причем при выводе уравнения для |
исполь- |
|||||||||||||||
зовалось приближение |
|
, справедливое для меди). Джонсон |
||||||||||||||
утверждает, однако, что конфигурация и энергия дефектов нечувствительны ко всем членам кроме . Учитывая это, только использовали во всех последующих расчетах, чтобы представить смещение атома в сплошной среде [17].
В модели Джонсона энергия атомов в расчетной ячейке (область
I, рис. 3.1) связана с константой |
из уравнения (3.13a) и равна: |
|||
|
|
|
, |
(3.14) |
|
|
|
||
где Ф – потенциальная энергия взаимодействия между атомами i и j; a и b – константы. Суммирование по i производится по всем атомам в расчетной ячейке I; суммирование по j – по всем атомам в расчетной ячейке, взаимодействующим с атомом i; суммирование по k – по атомам в области II, взаимодействующим с i-м атомом.
Если атомы в расчетной ячейке смещаются из своих положений в идеальной решетке, то совершается работа против сил, требуемых для удержания идеальной решетки в равновесии. Эта работа представлена членом в уравнении (3.14). Движение атомов из их положений в идеальной решетке в расчетной ячейке вызывает
29
также смещения атомов в сплошной среде. Эти смещения приводят к увеличению члена в уравнении (3.14).
Сила, с которой атом j действует на атом i:
|
|
|
|
|
, |
(3.15) |
|
|
|
||||
где |
. Суммарная сила, действующая на атом i: |
|
||||
|
. |
(3.16) |
||||
Для того чтобы рассчитать объем релаксации, необходимо найти обобщенную силу , действующую на атомы в области I, кото-
рая связана с упругой переменной соотношением: |
|
. |
(3.17) |
Процесс расчета конфигураций дефектов и характеристических энергий связан с выражениями для сил и энергий, определенных выше [17, 19]. Удерживая все атомы в областях II и III в фиксированных положениях (см. рис. 3.1), изменяют каждую координату
каждого атома в расчетной ячейке до тех пор, пока компонента соответствующей силы (уравнение (3.16)) не станет равной или
близкой к 0. Атомы перебираются в определенной последовательности до тех пор, пока все атомы в области I не достигнут равновесных положений (т.е. используется вариационная процедура метода молекулярной статики с релаксацией по силе, действующей на атом, для всех атомов области I). Все положения атомов в расчетной ячейке затем фиксируют, а положения атомов в областях II и
III вместе с упругой переменной изменяют, используя уравнения (3.13a) и (3.17), так, чтобы обобщенная сила приближалась к
нулю. Для малых смещений, имеющих место в области II, координаты векторов положения и упругая переменная могут быть точно согласованы путем линейной интерполяции для установления конфигурации, соответствующей нулевой обобщенной силе.
Описанный цикл согласования векторов положения атомов в расчетной ячейке и упругой константы , описывающей смещения атомов, погруженных в упругую среду (область II), представляет собой одну итерацию. Обычно для обеспечения сходимости требуется 10 – 25 итераций. Ясно, что чем лучше аппроксимирова-
30