Материал: Гидравлика. учебное пособие. Кирпичев И.Ю

Так же как сила, гидростатическое давление есть ве­личина векторная, характеризующаяся не только вели­чиной, но и направлением.

Гидростатическое давление обладает следующими двумя свойствами:

1) оно всегда направлено по внутренней нормали к площадке действия;

2) его величина не зависит от ориентации площадки действия, а зависит от координат рассматриваемой точки.

Первое свойство гидростатического давления следует из закона Ньютона. Так как жидкость находится в состо­янии покоя, то касательные напряжения равны нулю, а напряжения, возникающие в жидкости, могут быть толь­ко нормальными. Из-за легкоподвижности жидкость в обычных условиях может находиться в состоянии покоя только под действием сжимающих усилий; поэтому гид­ростатическое давление может быть направлено лишь по внутренней нормали к площадке действия.

Второе свойство гидростатического давления дока­жем, рассматривая равновесие элементарной трехгран­ной призмы, мысленно вырезанной в покоящейся жид­кости (рис. 3.2).

Проведем оси координат так, как показано на рисунке 3.2. Пусть ребро АВ, равное dz, параллельно оси z, ребро АЕ, равное dх, параллельно оси х, а ребро АD параллельно оси у.

Гидростатическое давление в пределах грани АВСD примем равным Р_x; в пределах грани АDFЕ - равным Р_z, в пределах грани ВСFЕ - равным Р_n .

Согласно первому свойству гидростатического давле­ния, векторы давлений Р_х, Р_y и Р_z направлены нормаль­но к соответствующим граням.

Спроецируем все силы, действующие на элементар­ную трехгранную призму на оси координат.

Проецируя все силы на ось X, получим:

Р_х - dу * dz = Р_n соs * ВЕ * dу.

Из рис. 3.2 видно, что ВЕ * соs = АВ = dz, поэтому:

Р_x * dy * dz = Р_n * dy *dz, или Р_x=Р_n.

Спроецируем теперь все силы, действующие на эле­ментарную трехгранную призму, на ось z:

Рис. 3.2. К вопросу второго свойства

гидростатического давления

P_z* dx * dy = P_n * sin * dy + ½ * *dx * dy * dz,

где ½ * *dx * dy * dz - сила тяжести объема трехгранной призмы (0,5 объема прямоугольного параллепипеда), Н.

Замечая, что BE * sin = dx и сокращая на dx получим:

P_z = P_n + g * ½ * dz.

Величина dz в пределе стремится к нулю, поэтому:

P_z = P_n.

Так как наклон грани ВСFЕ выбран произвольно, то отсюда следует, что величина гидростатического давле­ния зависит не от ориентации площадки действия, а от координат рассматриваемой точки.

В дальнейшем для упрощения вместо выражения "гидростатическое давление" будем использовать термин "давление".

*dx*dy*dz*X + dy*dz* -

- dy*dz = 0.

Раскрывая скобки и отнеся к единичному объему параллелепипеда dx*dy*dz , получим:

*X - = 0.

Аналогично рассмотрим условия равновесия в про­екциях на оси у и z и в окончательном варианте полу­чим следующие уравнения:

*X - = 0 ;

*Y - = 0 ;

*Z - = 0,

которые называются дифференциальными уравнениями равновесия жидкости, или уравнениями Эйлера. Они получены впервые членом Российской Академии наук Л. Эйлером в 1755 г.

Уравнения выражают в дифференциальной форме закон распределения гидростатического давления.

Приведем эти уравнения к виду, удобному для ин­тегрирования путем умножения, соответственно, на dх, dу и dz, а затем сложения:

X	-		dx
Y	-		dy
Z	-		dz

X*dх + Y*dу + Z*dz =

=

Так как Р = f(х, у, z), то выражение в скобках в пра­вой стороне уравнения представляет собой полный дифференциал давления dР и, следовательно:

dP = * (X*dx + Y*dy + Z*dz)

есть основное уравнение гидростатики для абсолютно покоящейся жидкости.

Резюме: В изученной теме раскрыто понятие гид­ростатическое давление и его свойства, выведены дифференциальные уравнения Эйлера и основное уравнение гидростатики.

Вопросы для самоконтроля:

1. Расскажите о классификации сил в гидравлике.

2. К какой группе сил относится сила инерции?

3. В каких единицах может измеряться гидростатическое давление?

4. Что такое гидростатическое давление?

5. Назовите основные свойства гидростатического давления.

6. Запишите основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме для абсолютно покоящейся жидкости и поясните величины входящие в него.

4. ПОВЕРХНОСТЬ РАВНОГО ДАВЛЕНИЯ

ЖИДКОСТИ И ЕЕ СВОЙСТВА

4.1. Относительный и абсолютный

покой жидкости

Геометрические места точек, в которых гид­ростатическое давление имеет одинаковое значение, называют поверхностями равного давления или по­верхностями уровня.

На поверхности равного давления Р = соnst, а пол­ный дифференциал давления dР = 0. Следовательно, урав­нение поверхности равного давления легко получить из основного уравнения гидростатики для абсолютно поко­ящейся жидкости:

X*dx + Y*dy + Z*dz = 0.

Поверхность уровня на границе жидкости и газа (обычно атмосфера) называется свободной поверхностью.

Различают покой жидкости: относительный и абсо­лютный.

Относительным покоем (равновесием) жидкости называется ее покой относительно стенок сосуда, дви­жущегося вместе с жидкостью. В относительном по­кое может рассматриваться горючее в баке машины, жидкость в перемещающейся цистерне, вращающем­ся сосуде и т.п.

В абсолютно покоящейся жидкости действующей массовой силой является только сила тяжести.

При относительном покое сюда добавляется массо­вая сила — сила инерции.

Основное уравнение гидростатики:

dР = *( X*dx + Y*dy + Z*dz),

выведенное для абсолютно покоящейся жидкости, имеет полную применимость к относительно покоящейся жид­кости, но под проекциями единичных массовых сил F_x, F_y и F_z следует понимать проекции единичной силы тя­жести и силы инерции:

F_x= 1*X; F_y=1*Y; F_z=1*Z при F=m*a,

где 1 — масса единичная;

X, Y, Z - ускорение массовой силы (проекции на соответ­ствующие оси координат).

Для поверхностей уровня при том же понимании ве­личин 1-Х, 1-Y и 1-Z, применимо ранее выведенное для случая абсолютно покоящейся жидкости уравнение:

X*dx + Y*dy + Z*dz = 0.

Основными вопросами, подлежащими разрешению при рассмотрении различных случаев относительного покоя жидкости, являются нахождение закона распре­деления давления внутри жидкости и построение повер­хностей равного давления.

Рассмотрим наиболее характерные случаи положения уровня свободной поверхности жидкости, находящейся под действием сил тяжести и сил инерции.

4.2. Свободная поверхность покоящейся тяжелой жидкости (при абсолютном покое)

Тяжелая жидкость - жидкость, к которой приложены в качестве массовых сил только силы тяжести.

Рис. 4.1. К вопросу свободной поверхности

при абсолютном покое тяжелой жидкости

Тяжелая жидкость находится под действием только силы тяжести, т.е. в состоянии абсолютного покоя (рис. 4.1). Для данного случая проекции массовых сил в уравнении:

X*dx + Y*dy + Z*dz = 0,

можно записать так:

Х = 0, Y= 0, Z = 1*g ,

т.е. единичная масса такой жидкости находится в рав­новесии только под действием силы тяжести.

Дифференциальное уравнение свободной поверхнос­ти будет иметь следующий вид:

1 * g * dz = 0.

Интегрируя это уравнение, получим z = const. Это уравнение плоскости, параллельной горизонталь­ной плоскости ху.

Отсюда можно сделать вывод, что свободная поверх­ность жидкости, находящейся только под действием силы тяжести, есть горизонтальная плоскость.

4.3. Свободная поверхность при равноускоренном прямолинейном движении жидкости в сосуде (при относительном покое)

Определим положение свободной поверхности бензина в вагоне-цистерне, который движется равноус­коренно с горизонтальным ускорением I_х (рис. 4.2).

Рис. 4.2. К вопросу свободной поверхности жидкости при равноускоренном прямолинейном движении жидкости

Выберем подвижную систему координат с началом в точке О пересечения свободной поверхности бензина с передней стенкой вагона-цистерны.

Единичная масса бензина в данном случае находится под действием силы тяжести (1*g) и силы инерции от горизонтального перемещения (1*I_х).

Составляющие массовых сил в уравнении равновесия:

Х * dx + Y*dy +Z*dz =0

получают следующие значения:

Х = -I_x ; Y = 0 ; Z = g ,

а уравнение поверхности уровня приобретает вид:

-Ix*dx + g*dz = 0 или

dz/dx = I_x/g = const, I_x*x = g*z = const.

Уравнение показывает, что свободная поверх­ность жидкости в цистерне представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом :

= arctg (-I_x/g).

4.4. Свободная поверхность жидкости, равномерно вращающейся (вместе с сосудом) относительно вертикальной оси

Жидкость заключена в сосуде, который вра­щается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью (рис. 4.3).

Рис. 4.3. К вопросу свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде.

В этом случае жидкость будет находиться в состоянии относительного покоя и здесь так же применимо уравнение равновесия жидкости:

5. Основное уравнение гидростатики в простой форме

5.1. Закон Паскаля

Рассмотрим наиболее распространенный слу­чай равновесия жидкости, заключенной в сосуде, когда она находится в покое под действием силы тяжести и давления Р₀ на ее свободной поверхности (рис. 5.1).

Рис. 5.1. К вопросу основного уравнения

гидростатики в простой форме

Применим для данного случая основное уравнение гидростатики

dР = * ( Х * dх + Y *dу + Z * dz),

в котором проекции массовых сил для частицы жид­кости с массой, равной единице, расположенной в точке A будут соответственно равны:

Х = 0; Y = 0; Z = - g* 1.

Тогда dР = - * g * dz = * dz или

dР/ + dz = 0.

Уравнение представляет собой дифференциаль­ное уравнение равновесия жидкости, находящейся под действием только силы тяжести.

Если проинтегрируем это уравнение, то получим:

Р / + z = С.

При z = z₀ давление Р = Р₀ , тогда

Р₀ / +z₀ = С; т.е. С = Р₀ / + z₀.

Подставляя значение С , получим

Р / + z = P₀ / + z₀.

И окончательно: Р = Р₀ + (z₀ - z).

Для заданной точки А (рис. 5.1), где z₀ - z = h, полу­чим уравнение:

Р = Р₀ + * h, Н/м²,

называемое основным уравнением гидростатики в про­стой форме.

Из уравнения следует, что на сколько увеличи­вается давление на поверхность жидкости, на столько же увеличивается давление в рассматриваемой точке; или давление в жидкости передается во все стороны одинако­во. Это положение носит название закона Паскаля.

5.2. Абсолютное и манометрическое давление

В основном уравнении гидростатики Р является абсолютным, или полным гидростатичес­ким давлением, поскольку учитывает также влияние внешнего давления на свободную поверхность жидкости, Н/м²; обозначается [Р_абс],

Р₀ является давлением на свободную поверхность, рав­ное в открытом резервуаре атмосферному давлению, Н/м²;

называется избыточным или манометрическим давлением и измеряется при помощи манометра, нуль шкалы которого соответствует атмосферному давлению, Н/м²; обозначается [Р_изб].

Следовательно, Р_абс = Р₀ + Р _изб.

5.3. Пьезометрическая высота

Пьезометрическая высота (h_p) определяет ве­личину избыточного давления в точке, где установлен пьезометр (рис. 5.2).

Рис. 5.2. К вопросу о пьезометрической высоте

Пьезометр - простейший лабораторный прибор, пред­ставляющий собой стеклянную трубку небольшого диа­метра (обычно не менее 5 мм), открытую с одного конца, и вторым концом присоединенную к сосуду, в котором в точке А измеряется давление.