Таким образом, правильное применение аналогии требует объема а глубины знаний существенных признаков сравниваемых объектов (как общих, так и отличительных), а также умения выделять существенные связи; между ними. Глубокое осознание к третьему году обучения общности принципов нумерации любых натуральных чисел позволяет использовать аналогию для вывода: «Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел».
Можно привести немало примеров использования аналогии при изучении начального курса математики. Ее широкое применение объясняется тем, что выводы, получаемые по аналогии, позволяют систематизировать знания учащихся с наименьшими затратами сил и времени, вооружить новыми знаниями, пробудить у них интерес к математике, приобщить их к исследовательским видам деятельности. Поэтому там, где это возможно, целесообразно приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии. Необходимым условием для этого- является
предварительная актуализация знаний существенных общих и отличительных признаков сравниваемых объектов, которые создают базу для переноса знаний с одного объекта на другой.
Например, сопоставление случаев деления с остатком на однозначное число (II класс) и на числа 10, 100, 1000 (III класс) позволяет выделить в них существенные черты сходства (один и тот же вычислительный прием) и различия (основой для первого является табличное или внетабличное умножение, а для второго - нумерация натуральных чисел). По каждому из признаков у третьеклассников имеется достаточный объем знаний, поэтому учитель может построить урок так, чтобы учащиеся самостоятельно сделали вывод по аналогии.
Учитель может использовать эту возможность следующим образом. В устный счет включить задания, выполнение которых актуализирует у детей необходимые для проведения аналогии знания. До начала урока учащимся розданы перфопапки. Записав свою фамилию, ученик должен был в прорезях подчеркнуть одной чертой, сколько в соответствующем числе десятков, двумя
сколько в нем сотен, тремя - число тысяч.
Частичная проверка этой самостоятельной работы
была выполнена после заполнения таблицы, записанной на доске.
Сравните частное и делимое в первой паре примеров (второй паре, третьей паре). Что показывает частное от деления любого числа на 10? (на 100? на 1000?)
Ответы на поставленные учителем вопросы требовали от учащихся мобилизации имеющихся у них знаний о способе нахождения частного от деления на разрядные числа.
И наконец, с полным объяснением коллективно были решены примеры 27: 4 и 89 : 9.
Выполнение всех этих заданий явилось хорошей подготовкой для решения поставленной проблемы: «Пусть требуется 89 разделить на 10. Как это сделать?» Учащиеся быстро нашли ключ к ее решению - надо в делимом выделить наибольшее число, которое делится на 10 без остатка. Один из учеников у доски решил этот пример с полным объяснением. Для закрепления вывода, основанного на аналогии нового приема с приемом деления с остатком на однозначное число, учитель предложил сначала прочитать в учебнике объяснение деления 86 на 10, а затем прокомментировать решение примеров: 148:10; 356 : 10; 1425: 10; 24876: 10 Организованные затем наблюдения за частным и остатком в каждом примере посредством сравнения их с делимым подвели учащихся к выводу: «При делении любого числа на 10 частное показывает, сколько всего десятков в этом числе, а цифра единиц данного числа обозначает остаток». Этот вывод закреплялся путем решения примеров с окошками: 237:=23 (ост. 7); 4768: = 476 (ост. 8)
Решение новой проблемы: 4 768 : = 47 (ост. 68) опять требует от учащихся выполнения умозаключения но аналогии: «Делитель - 100, потому что частное обозначает число сотен в числе 4 768, а остаток записан всеми другими цифрами этого числа». Достоверность этого заключения учитель потребовал" доказать, предложив учащимся объяснить решение примера 4 768 : 100 и сравнить полученный ответ с ответом в примере с окошком.
Аналогия на этом уроке использовалась еще раз при отыскании приема деления на 1 000.
В течение всей работы над новым материалом учащиеся были вовлечены в творческую деятельность. Они активно участвовали в решении предлагаемых учителем познавательных задач. В ходе их решения у учащихся формировались мыслительные операции (анализ, сравнение, синтез, обобщение) и приемы умственной деятельности (наблюдение, аналогия).
Все рассмотренные нами способы обоснования истинности предложений не считаются в математике способами доказательства, так они могут привести к ложному заключению (о причинах говорилось выше). Но мы их относим к способам предматематического доказательства, потому что они: 1) доступны и убедительны для младших школьников; 2) позволяют вооружить учащихся основами научных знаний; 3) приобщают к методам математической деятельности, поскольку используются для выдвижения гипотез; 4) их использование в начальном обучении математике готовит учащихся к строгим математическим доказательствам.
Способы, о которых речь пойдет ниже, признаются в математике логически достоверными.
5. Дедуктивный вывод. В процессе дедуктивного умозаключения мысль движется от общего к частному, при этом отдельные частные факты подводятся под соответствующее общее правило, закон, понятие.
Повышение теоретического уровня математических знаний младших школьников открывает широкие возможности использования дедуктивных умозаключений при обосновании истинности частных суждений, при решении примеров, задач, уравнений.
Примером одного из первых дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является рассуждение: «2<3, потому что 2 при счете
называют раньше, чем 3». С его помощью из одного общего суждения (общей посылки) и одного частного суждения (частной посылки) выводится новое частное суждение (заключение). Общая посылка: если а при счете называется раньше в, то а<в. Частная посылка: 2 при счете называется раньше трех. Заключение: 2<3.
Выбор действия для решения простой арифметической задачи также часто обосновывается дедуктивно. Приведем пример такого обоснования при решении задачи: «В одной книге 36 страниц, а в другой - 18 страниц. Во сколько раз больше страниц в первой книге, чем во второй?»
Общая посылка: все задачи, в которых требуется узнать, во сколько раз одно число больше другого, решаются делением.
Частная посылка: в этой задаче надо узнать, во сколько раз 36 больше, чем 18.
Заключение: для ответа на вопрос задачи надо 36 разделить на 18.
Мы привели примеры полных дедуктивных умозаключений. От учащихся, как правило, не требуют объяснения в таком развернутом виде. Общая посылка часто лишь подразумевается, как, например, в этом рассуждении второклассника, в котором он обосновывает истинность математического предложения 23*4 = 92: «23- это сумма чисел 20 и 3*20 умножить на получится 80, 3 умножить на 4, получится 80+12 = 92». Общая посылка - правило умножения суммы на число - в этом рассуждении используется лишь неявно.
Все примеры обоснования истинности предложений содержат только одно умозаключение. В некоторых случаях, например при решении составного уравнения (4* b) : 10 = 236, от учащихся уже требуется умение построить цепочку из двух дедуктивных умозаключений. Интересно заметить, что при объяснении решения уравнений учитель почти всегда требует от ученика произнесения вслух общей посылки.
Общая посылка: чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Частная посылка: в этом уравнении неизвестно делимое.
Заключение: 4* b = 236*10. Аналогично строится второе умозаключение уже для решения нового уравнения 4* b = 2360. Истинность заключения в дедуктивных доказательствах при правильном построении умозаключений зависит только от истинности посылок, поэтому дедуктивный вывод и является основным способом математических доказательств.
Математические доказательства представляют собой такую цепочку дедуктивных умозаключений, что заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений. Дедуктивные доказательства в начальном курсе математики отличаются от них как количеством звеньев в этой цепочке (одно - два звена), так и простотой своей структуры. Но ясно, что обучение таким рассуждениям готовит учащихся к строгим логическим доказательствам, с одной стороны, и обеспечивает осознанность и глубину знаний - с другой. 6. Вычисление. Название этого способа говорит само за себя: истинность высказываемых учащимися суждений обосновывается с помощью вычислений. Проверка уравнений, результатов арифметических действий, решение неравенств методом подбора являются примерами этого способа предматематического доказательства.
В начальной математике вычисление как способ обоснования истинности суждений используется часто, иногда даже в ущерб развитию логического мышления и речи детей. Это происходит в тех случаях, когда учитель, ограничиваясь вычислениями, недостаточно использует возможности уроков математики длят привития учащимся навыков словесного обоснования.
Например, обоснованием истинности предложений 405-205=450-250 и 7*10>70:10 может служить только вычисление.
Но совсем другой подход предполагается при выполнении заданий по сравнению значений выражений вида: 56*10*4 и 56*14, где от третьеклассников в первую очередь требуется проведение дедуктивных
рассуждений. Вычисления в этом случае играют лишь вспомогательную роль, являясь своего рода подкреплением убедительности сделанного дедуктивного вывода.
Таким образом, современный начальный курс математики позволяет на простых примерах познакомить учащихся с элементами математического доказательства, сознательное овладений которым способствует развитию их логического мышления и успешному усвоению математики в средней школе. Систематическое использование различных способов предматематического доказательства позволяет воспитывать у учащихся потребность в обосновании истинности своих суждений, что является важным качеством культуры мышления, необходимым в любой деятельности.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что задания на доказательство учат младших школьников грамотно формулировать мысли, обосновывать выводы, способствует развитию логического мышления и теоретического виденья. Все это является важнейшим показателем успешности обучения в начальной школе. Совершенствование логических умозаключений сохраняется и в других мыслительных процессах: в установлении причинно-следственных связей ответах на поставленные взрослыми вопросы, требующие планирования, догадки, поиска решения.
При применении методов установления причинной связи в качестве научной методологии используются следующие положения принципа причинности:
1) причинно-следственная связь является объективной;
2) эта связь необходимая: определенная причина в соответствующих условиях обязательно вызывает определенное следствие;
3) эта связь является всеобщей; в природе нет беспричинных явлений;
4) причина предшествует следствию во времени (по крайней мере, следствие не может появиться раньше причины).
Виды заданий. В 1-ом классе дается следствие, а причину дети формулируют на бытовом уровне, исходя из собственного опыта.
Во 2-ом классе дается следствие, дети формулируют причину на основе и личного опыта, и на материалах учебника; появляется научность. Добавляются задания на развитие других логических операций: анализ, обобщение, классификация, работа со схемами-таблицами.
В 3, 4-ых классах в видах заданий:
- есть следствие, надо найти причину;
- есть причина, дети формулируют следствие;
- есть проблема, из которой выводится причина, дети говорят о следствии.
На основе таких видов заданий делаются выводы, которые отображаются в виде схем, таблиц. К 3, 4-му классам начинает развиваться словесно- логическое мышление.
Выбор действия определяется прежде всего целью усвоения понятия и подведения под понятие. Допустим, понятие усваивается для того, чтобы распознавать объекты, относящиеся к данному классу. В этом случае необходимо использовать действие распознавания, действие подведения под понятие. Если учащиеся не знакомы с этими действиями, то необходимо раскрыть их содержание, показать, как следует их выполнять.
Действие подведения под понятие имеет следующую структуру:
- Выделение всех свойств, зафиксированных в определении.
- Установление логических связей между ними.
Проверка наличия у объекта выделенных свойств и их связей.
Получение вывода о принадлежности объекта объёму понятия. Тема: «Деление нуля».
У.:У меня в руках нет конфет. Какой цифрой обозначим несуществующее число конфет?
Д.: Цифрой «0».
У.: У меня нет в руках конфет, я забыла их дома, но я так хотела их отдать 4-ём ученикам поровну! Сколько будет конфет у каждого ученика?
Д.: «0».
У.: Запишем эту ситуацию примером. Д.: 0 : 4 = 0
У: Сколько конфет будет у 5-ти, 6-ти, 7-ми учеников в руках, если я захочу им раздать забытые дома конфеты?
Д.: Не будет у них конфет - «0».
У.: Сформулируйте мне правило деления нуля на любое число. Дети формулируют правило деления нуля на любое число.
У.: Скажите, можно ли положить конфеты (яблоки, пирожки и т.д.) на несуществующее количество тарелок поровну?
Д.: Нет, нельзя, тарелок же нет - «0».
У.: Можно ли разделить любое число на «0»? Д.: Нет, нельзя.
Примерами подобных ситуаций на уроках в начальной школе хотелось показать важную роль слов учителя, ведущего к открытию учащимися новых знаний. Подобная роль может быть почти незаметной, тогда яркость открытий будет наиболее впечатлительной, сильной у детей, учащиеся с большим интересом будут идти на урок и стремиться к новым
В обучении математике процессы обобщения могут быть организованы по-разному, что влияет на выбор методики обучения.
При формировании правильных обобщений особое место необходимо уделять варьированию несущественных признаков.
Умение анализировать математические объекты - одно из основных условий правильного обобщения, и поэтому его нужно специально формировать. С этой целью необходимо строго продумывать характер вопросов и заданий, активизирующих мысль детей, направленную на поиск главного, существенного в заданном объекте.
Найдём, например, значение выражения 96-2?62. Для этого мы должны, соблюдая принятый порядок действий, сначала выполнить возведение в степень, затем умножение и, наконец, вычитание:
. 62=36;
. 2?36=72;
. 96-72=24.
Число 24 -значение выражения 96-2?62.
Сравни равенства. Объясни, почему верны эти записи: а) 2 · 4 = 4 · 2;
б) 3 · 6 = 6 · 3;
в) 2 · 7 = = 7 · 2.
Сделай вывод, запиши его для произведения.
Если в выражении встречается деление на нуль, то это выражение не имеет значения, так как на нуль делить нельзя. О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла. Например, не имеют смысла такие выражения, как
?(4?2-8)
Таким образом, говоря об особенностях мышления младшего школьника и, опираясь на все указанное выше, можно сделать следующие выводы:
1 .Особенности логического мышления младших школьников проявляются и в самом протекании мыслительного процесса, и в каждой его отдельной операции (сравнении, классификации, обобщении, совершающихся в разных формах суждения и умозаключения).
2 .Для мышления младших школьников характерно однолинейное сравнение (они устанавливают либо только различие, либо только сходное и общее).
3 .Детям7-10летдоступнылогическиесуждения, оперирования понятиями, переходы к обобщениям и выводам.
Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика.
Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.
Исходя из выше изложенного, при обучении необходимо найти в педагогическом процессе такие условия, которые могли бы в максимальной степени способствовать проявлению самостоятельности и активности в формировании логического мышления учащихся, а также продвижению в их умственном развитии. Обучение, которое сводится лишь к накоплению знаний, а не формирует у ребенка умение думать, не учит тем мыслительным операциям (анализу, синтезу, сравнению, обобщению и т.п.), с помощью которых приобретаются осмысленные знания, малоэффективно для умственного развития.