От выяснения ещё в дошкольном возрасте наиболее простых, прозрачных, лежащих на поверхности связей и отношений дети постепенно переходят к пониманию гораздо более сложных и скрытых зависимостей. Один из важнейших видов таких зависимостей - отношения причины и следствия. Приведём пример задания на установление причинно-следственных связей, которое предлагается в учебно-методических комплектах для начальной школы (Образовательная система «Школа 2100»):
Я разбил сегодня вазу, Но разбил её не сразу. Я вначале влез на стул И буфет перевернул.
Расположи события: А (разбил вазу), Б (влез на стул), В (перевернул буфет), в нужной последовательности. Найди причину и следствие (результат) события В.
Следующий логический приём, которому следует научить младших школьников, - приём выведения следствий с соблюдением требований закона контрапозиции [4, с. 74].
Приведём задачу из начального курса математики, при решении которой у детей формируется умение правильно делать выводы:
Известно, что деревянные предметы плавают в воде. Утонет ли в воде линейка?
Выбери среди предложенных ответов верный:
А - да, Б - нет, В - данных для ответа недостаточно.
Если твой ответ В, то укажи, какой информации не хватает.
Мы считаем чрезвычайно важным развитие вышеназванных логических приёмов, так как они широко используются в процессе обучения и без них невозможно полноценное мышление человека. Кроме того, они являются
компонентом универсальных учебных действий, которые в Федеральных государственных стандартах начального общего образования определяются как логические универсальные действия и включают
– анализ объектов с целью выделения признаков;
– синтез - составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с выполнением недостающих компонентов;
– выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;
– подведение под понятие, выведение следствий;
– установление причинно-следственных связей;
– построение логической цепи рассуждений;
– доказательство;
– выдвижение гипотез и их обоснование.
2.2 Возможности урока математики для
развития логического мышления детей
В начальной же математике, как известно, нет ни аксиом, ни теорем, да и определений немного. Значит, основания для установления истинности высказываемых суждений здесь должны быть иными.
Отбор таких оснований определяется особенностями восприятия младших школьников, уровнем их знаний, а также степенью сформированности тех или иных мыслительных операций Наглядный, конкретный характер мышления детей 7-10 лет, ограниченность их знаний ориентируют на использование в качестве критериев истины опыта, наблюдений, измерений, практики. По мере увеличения объема знаний основаниями доказательства могут служить результаты вычислений, ранее выведенные правила, свойства арифметических действий.
Доказательства в начальном курсе математике чаще всего получают дедуктивным способом. В дедуктивных умозаключениях мысль движется от общего к частному. Эти умозаключения позволяют строить частные суждения из общих. Возможность же использования дедуктивных рассуждений (умозаключений) в начальных классах на первый взгляд довольно ограничена, тем не менее, дедуктивные рассуждения с большей или меньшей строгостью следует использовать при изучении начального курса математики, так как именно они воспитывают строгость, четкость и лаконичность мышления.
Например, в 1 классе используется задание, в котором требуется доказать, что количество одних предметов меньше, чем других на определённое число:
«Докажи, что карандашей меньше на 4, чем тетрадей». Рассуждения учеников, образцы которых, естественно, должны быть заложены в объяснении учителя, могут быть такими: «Чтобы доказать, на сколько одних предметов больше, чем других, нужно образовать пары из этих групп предметов. Тех предметов, которые останутся без пары, больше. Число предметов без пары будет указывать на разницу между группами предметов. В задании нужно доказать, на сколько больше тетрадей, чем карандашей. Вывод: «после образования пар из тетрадей и карандашей остались 4 тетради, значит тетрадей больше карандашей на 4. Следовательно, карандашей меньше на 4, чем тетрадей».
Анализ учебников математики для I- III классов, соответствующей им методической литературы и наблюдения уроков позволяют выделить следующие способы o6основания истинности предложений, используемых в начальном обучении математике: эксперимент, неполный индуктивный вывод, измерение, умозаключение по аналогии, дедуктивный вывод, вычисление. Назовем их способами предматематического доказательства. Приставка пред указывает на отличие такого доказательства от математического и на его роль в предварительной, предшествующей подготовке младших школьников к проведению строгих логических доказательств. Все названные способы предматематического доказательства приемов, позволяющих полнее реализовать заложенные в программе возможности интеллектуального развития учащихся. Рассмотрим каждый из них в отдельности.
1. Эксперимент - самый распространенный в начальной математике способ получения новых знаний, истинность которых устанавливается путем сопоставления их с действительностью, с результатами непосредственного чувствительного восприятия.
Экспериментально [1] доказываются предложения вида 2<3 на первых уроках по изучению нумерации чисел первого десятка, ряд свойств арифметических действий, некоторые вычислительные приемы, суждения о выборе арифметического действия для решения простых задач и т. п.
Применение этого способа предматематического доказательства начинается с создания конкретного, условного или мысленного образа рассматриваемой ситуации, построения ее модели.
Рассмотрим, например, как обосновывается
истинность суждения: 2<3. В этом математическом предложении можно выделить
условие: «Даны числа 2 и 3». Конкретизацией его служит построенная учителем
модель: на наборном полотне выставляется 2 круга и ниже 3 квадрата. Основанием
доказательства является результат непосредственного чувственного восприятия:
«Один квадрат остался без пары».
Позднее, когда на примере первых десяти чисел натурального ряда учащиеся познакомятся с принципами его построения (каждое число ряда больше всех чисел, встречающихся при счете раньше этого числа, и меньше любого числа, которое называется при счете после него), изменяются основания для доказательства предложения 2<3. И оно имеет вид: 2<3, потому что при счете число 2 называют раньше, чем число 3.
Первое - пример предматематического доказательства (экспериментального), а второе- пример дедуктивного доказательства.
Рассмотрим еще один пример экспериментального обоснования во II классе истинности распределительного свойства умножения относительно сложения (в начальной школе его называют правилом умножения суммы на число).
Учитель предлагает учащимся практическую работу: «Положите в первый ряд 4 красных и 2 зеленых круга и еще 2 таких же ряда красных и зеленых кругов. Как можно узнать, сколько всего кругов вы положили?
Для нахождения двух способов решения
поставленной проблемы важную роль играет построенная учениками модель.
1 -й способ. Можно узнать, сколько кругов в одном ряду (4+2). А таких рядов 3. Значит, надо сумму чисел 4 и 2 умножить на 3.
2 -й способ. Сначала можно найти, сколько мы положили красных кругов. Для этого надо 4 умножить на 3. Потом можно найти, сколько всего мы положили зеленых кругов. Для этого нужно 2 умножить на 3. Сложив полученные произведения, мы узнаем, сколько всего кругов мы положили.
Оба способа записываются на доске с помощью цифр и знаков арифметических действий.
Что обозначает выражение (4+2)*3?(Сколько всего кругов мы положили).
А другое выражение 4*3+2*3? (Оно тоже обозначает, сколько всего кругов мы положили.)
Значит, что можно сказать о значениях этих выражений? (Они равны.)
На доске записывается математическое предложение: (4+2)*3 = 4*3+2*3.
Абстрагируясь от его конкретного содержания и анализируя только полученную запись, учащиеся под руководством учителя формулируют обобщенный вывод: «Сумму умножить на число можно двумя способами. Можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить. Можно найти значение суммы и умножить ее на число>.
Для получения этого заключения нет необходимости прибегать к вычислениям: (4+2)*3 = 6*3=18 и 4*3+2*3=12+6=18 и сравнению полученных результатов. Истинность предложения (4+2)*3=4*3+2*3 следует из сопоставления его конкретного содержания с реальной моделью этого предложения - множеством кругов (рис. 2).
Эксперимент как способ предматематического доказательства стимулирует движение мысли от конкретного к абстрактному, от единичного к общему, а потому его применение в начальном обучении математике не только приводит учащихся к открытию новых знаний, но и способствует развитию у них абстрактного мышления.
2. Неполный индуктивный вывод. Необходимое условие применения этого способа умозаключения - накопление знаний о возможно большем числе однородных, единичных фактов, в которых учащиеся с помощью анализа, сравнения, синтеза находят общее и существенное и приходят таким образом к обобщенным теоретическим значениям. Следовательно, индуктивное мышление характеризуется движением мысли от единичного, частного к общему.
Способом неполного индуктивного вывода доказывается, например,, правило 0 • а=0. Вычисляя путем перехода к сложению произведения 0*2, 0*6, 0•5, учащиеся подмечают в этих примерах существенные черты сходства:
1) во всех примерах первый множитель 0;
2) все произведения также равны 0. Синтез общего и существенного в решенных примерах приводит к обобщению: «При умножении нуля на любое число получается нуль».
В начальном обучении математике неполный индуктивный вывод тесно связан с экспериментом.
Для примера приведем фрагмент урока по теме «Вычитание числа из суммы» (учитель Г. П. Волкова, школа № 10 г. Бреста).
На доске записано выражение (5+4)-2.
Прочитайте выражение. (Из суммы чисел 5 и 4 вычесть число 2.)
Как можно найти результат? (Сначала вычислим сумму: 5+4=9, а потом из нее вычтем 2-9-2=7).
Способ вычисления учитель записывает на доске: (5+4)-2=9-2 = 7.
Сегодня мы научимся решать такие примеры другими способами.
Составьте по выражению (5+4)-2 задачу о яблоках.
Одну из составленных задач: «В вазе лежало 5 красных яблок и 4 зеленых яблока. 2 яблока девочка съела. Сколько яблок осталось в вазе?» - учитель предлагает классу решить разными способами.
Как мы рассуждали, если эту задачу решили так, как записано на доске? (Сначала мы узнали, сколько всего яблок лежало в вазе, а потом нашли, сколько яблок осталось. В вазе осталось 7 яблок.)
Для нахождения Других способов решения задачи учитель предлагает учащимся практическую работу с красными и зелеными кругами, условно изображающими яблоки.
Как мы будем решать задачу, если девочка выбрала 2 красных яблока? (Из 5 красных яблок вычтем 2 и узнаем, сколько красных яблок осталось в вазе, а потом прибавим 4 зеленых яблока.)
Предложенный способ решения записывается на доске: (5+4)-2= (5- 2)+4=3+4=7.
Изменится ли решение задачи, если девочка возьмет 2 зеленых яблока? (Если девочка возьмет 2 зеленых яблока, то мы сначала узнаем, сколько зеленых яблок осталось в вазе. Для этого из 4 вычтем 2, а потом прибавим остаток к 5 и ответим на вопрос задачи.)
Новый способ решения также записывается на доске: (5+4)-2=5+(4-2)=5+2=7.
Сопоставление полученных на доске записей приводит к выводу, что число из суммы можно вычитать тремя различными способами.
Сделанный вывод еще не имеет доказательной силы. Одного наблюдения для этого недостаточно. Чтобы стать убедительным, вывод должен подтвердиться в целом ряде однородных случаев. Поэтому на данном уроке аналогично была проведена работа по системе сюжетных картинок из учебника. Затем наблюдения были продолжены при решении соответствующих примеров тремя способами, только после этого был сделан индуктивный вывод.
Специфической особенностью неполного индуктивного вывода является то, что нельзя исчерпать все частные случаи, а потому всегда остается сомнение в истинности тезиса. По этой причине умозаключение, достроенное с помощью неполной индукции, не относится к способам математического доказательства. Но в начальной математике мы застрахованы от ошибок, к которым оно может привести, поскольку заранее знаем, что открываемые учащимися законы, свойства, правила достоверны (они уже получили свои строгие доказательства в математике). Поэтому неполный индуктивный вывод мы и относим к способам предматематического доказательства (но не логического!).
С методической точки зрения этот способ имеет целый ряд достоинств: это и развитие логических операций (анализ, синтез, обобщение), и принципы и доступности в обучении, и связанная с ними познавательная активность учащихся, и радость открытия, и знакомство с широко используемым в науке исследовательским методом.
3. Измерение. Сущность этого способа предматематического доказательства состоит в сопоставлении истинности высказываемых суждений с данными, полученными в результате измерения.
Например, наблюдение различных по цвету, форме, расположению на плоскости прямоугольников приводит учащихся к предположению, что противоположные стороны любого прямоугольника равны. Это суждение требует обоснования, которое и выполняется путем измерения длин соответствующих сторон и применения неполного индуктивного вывода.
Логически достоверным способом доказательства измерение не является, ибо его результаты зависят от точности инструментов, от навыков владения ими и потому всегда приближенны.
4. Вывод по аналогии. В умозаключении по аналогии мысль движется от единичного к единичному, в результате чего осуществляется перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект. Основой для переноса служат глубокие и разносторонние знания признаков сходства и различия этих объектов.
Получаемые по аналогии выводы имеют лишь правдоподобный характер. Они могут оказаться как истинными, так и ложными. К ошибкам приводит применение аналогии на частичных или несущественных признаки сходства сравниваемых объектов. Каждый учитель может привести конкретный пример ошибочного умозаключения по аналогии из своей практики обучения решению задач, когда, основываясь на выделении в тексте задач только отдельных слов- признаков больше, меньше, всего, осталось и т. п. (без учета их связи с другими данными задачи), учащиеся переносят известный им способ выбора арифметического действия в новые условия.
Весьма распространены у младших школьников ошибки в решении уравнений на нахождение неизвестного делимого (или уменьшаемого). Объясняются эти ошибки не столько нетвердым знанием названий этих компонентов и соответствующих правил их нахождения, сколько неправильным использованием аналогии. Решая без ошибок, к примеру, уравнения вида х*2=8 и хорошо зная правило нахождения неизвестного множителя, учащиеся переносят применяемый здесь способ решения х:=8:2 и на уравнение вида х:2 = 8. Основой для проведения аналогии служат несущественные признаки сходства этих уравнений: 1) оба уравнения с действиями одной ступени, 2) в обоих уравнениях неизвестен первый компонент. Несоответствие полученного ответа х=4 уравнению х:2 = 8 часто остается необнаруженным, поскольку к проверке уравнений многие учащиеся подходят формально, ограничиваясь только соответствующими записями (без вычислений!).
Для предупреждения ошибок подобного рода важное значение имеет установление существенных признаков отличия этих уравнений: в уравнении х*2=8 выполняется действие умножение и поэтому значение х должно быть меньше 8, а в уравнении х:2=8 - деление и значение. х должно быть больше 8.