В значительную часть уроков в учебник включены проблемные ситуации, позволяющие школьникам вместе с учителем выбрать цель деятельности (сформулировать основную проблему (вопрос) урока), авторские версии таких вопросов дают возможность оценить правильность действий учеников. Проблемные ситуации практически всего курса математики строятся на затруднении в выполнении нового задания, система подводящих диалогов позволяет при этом учащимся самостоятельно, основываясь на имеющихся у них знаниях, вывести новый алгоритм действия для нового задания, поставив при этом цель, спланировав свою деятельность, и оценить результат, проверив его.
Программа ученого Л.В. Занкова предусматривает изучение свойств геометрических фигур в сравнении, сопоставлении, при помощи конкретизации, классификации с другими, что делает его эффективным для умственного развития детей.
Развивать геометрические представления помогают следующие действия:
• моделировать тела из материалов;
• работать с моделями геометрических тел;
• изображать геометрические фигуры на бумаге.
Ясно, что, прежде всего школьники учатся видеть отдельные признаки предметов, а затем, рассматривая предметы, стараются сравнивать их, группируя по общим признакам на основе своих наблюдений. Анализ и синтез протекает в наглядно - образной форме, потом переходит в словесно - логическую.
Ученые считают, что изучение геометрических тем должно быть построено на интуитивно - содержательной основе для формирования у учеников пространственного мышления; развития целенаправленного оценивания и осмысления информации; обучения анализу геометрических свойств тел и др. [58].
Поэтому в ходе изучения геометрического материала у школьников необходимо формировать следующие умения:
1) анализировать свойства геометрических фигур, овладевать знаковой системой;
2) строить простейшие геометрические фигуры;
3) видеть знакомые образы геометрических фигур в совокупности фигур и находить их по существенным признакам;
4) читать геометрические чертежи с использованием буквенных и числовых обозначений;
5) обосновывать свои действия, делать простейшие логические выводы.
На активизацию мыслительной деятельности школьников, развитие их пространственного и логического мышления, а также сообразительности большое влияние оказывает применение в педагогическом процессе устных вычисления. Однако, на разработку специальных приемов они затрачивают очень мало времени. Зачастую это можно объяснить тем, что использование специальных приёмов устных вычислений - сложная творческая работа, в основе которой лежит хорошее видение свойств чисел, глубокое уяснение характеристик изменяемости выводов при изменении состава действий, умение находить наиболее рациональные методы в конкретном случае. В математической литературе имеется вид логических задач, для решения которых должны использоваться графы. Их применение в педагогическом процессе способствуют интеллектуальному развитию школьников, что, несомненно, отразится на их математическом мышлении.
Текстовые задачи являются важным средством формирования математического мышления школьников на уроках математики.
Познавательный материал, включающий в себя конкретные жизненные ситуации, помогает ученикам развить умения применять их школьные знания на практике. При этом педагогу важно помнить тот факт, что задачи являются наиболее эффективным средством при осуществлении целенаправленного математического развития обучающихся.
Для решения геометрических задач желательно использовать вспомогательные обучающие модели. При этом анализ и синтез, которые являются процессами мышления, а также классификация и сравнение будут способствовать активному развитию мышления. Применение моделей на уроках математики в средней школе, безусловно, способствует развитию пространственного мышления.
2. Программа по математике «Начальная школа XXI века» создана на основе федерального компонента государственного стандарта начального общего образования. Она разработана в целях конкретизации содержания образовательного стандарта с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса и возрастных особенностей младших школьников. В примерной программе по математике, так же как в федеральном компоненте государственного стандарта начального общего образования, представлены две содержательные линии: «Числа и вычисления»,
«Пространственные отношения. Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин». Они конкретизируются с учетом специфики математики как учебного предмета. В первом разделе выделены темы «Целые неотрицательные числа», «Арифметические действия с числами», «Величины», во втором - «Пространственные отношения», «Геометрические фигуры. Измерение геометрических фигур».
Задания по математике направлены на системное обучение моделированию условий текстовых задач и усвоение общих способов решения задач; установление аналогий и обобщенных способов действий при организации вычислений, решении текстовых задач, нахождении неизвестных компонентов арифметических действий, а также на формирование умения выполнять вычисления и решать задачи разными способами и выбирать наиболее эффективный способ вычислений.
Ряд планируемых результатов и соответствующих им умений, сформулированных ФГОС НОО, не предъявлен в виде требований к подготовке учащихся (например, работа с данными, оценка геометрических объектов на глаз, соотношение реальных объектов с геометрическими фигурами и др.), однако в курсе прослеживается система заданий для организации работы по формированию данных умений.
В-третьих, в соответствии с требованиями ФГОС НОО учащиеся в рамках программы по математике («Начальная школа XXI века») овладевают важными логико-математическими понятиями. В 4 классе они знакомятся, в частности, с математическими высказываниями, с логическими связками «и», «или», «если …, то»; «не верю, что … », со смыслом логических слов «каждый», «любой», «все», «кроме», «какой-нибудь», составляющими основу логической формы предложения, используемой в логических выводах. «К окончанию начальной школы ученик будет отчетливо представлять, что значит доказать какое-либо утверждение, овладеет простейшими способами доказательства, приобретет умение подобрать конкретный пример, иллюстрирующий некоторое общее положение, или привести опровергающий пример, научится применять определение для распознавания того или иного математического объекта, давать точный ответ на поставленный вопрос и пр.» [7, 14].
Следовательно, в содержании УМК по математике «Начальная школа XXI века» заложены компенсаторные возможности, способствующие реализации федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования.
Курс «Математика» является основой развития у учащихся, в первую очередь, логических действий: анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов; выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов; доказательство; выдвижение гипотез и др.
Одна из основных задач современной школы - помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал и интеллект. А интеллект человека в первую очередь определяется не суммой накопленных им знаний, а высоким уровнем логического мышления.
Таким образом, формирование логического мышления является важной составной частью педагогического процесса на уроках математики.
На уроках математики ученики овладевают как общими математическими навыками и умениями (выявляют различные закономерности, выдвигают гипотезы, выделяют некоторые свойства объектов), так и специальными математическими навыками, и умениями (устанавливают структурные сходства различных систем, переформулируют задачи, исследуют решение сюжетных задач и др.). Изучение математики, безусловно, отличается от большинства других наук тем, что важное значение в ней занимает логическое мышление, так как содержание любого раздела математики включает в себя понятия, связанные между собой различными отношениями.
Одной из задач учителя является использование возможностей формирования логического мышления школьников на уроках математики. Однако, нет конкретных методик для изучения логических приёмов мышления, которые необходимы для его формирования при изучении математики. Поэтому развитие данного вида мышления проходит без системы конкретных приёмов.
Глава II.
Методические особенности развития логического мышления младших школьников на
уроках математики
2.1 Опыт использование педагогами
возможностей урока математики для развития логического мышления детей
По мнению психологов, работа над развитием логического мышления младших школьников должна проводиться с учётом знания системы необ- ходимых приёмов, их содержания и последовательности формирования. Рассмотрим некоторые аспекты методики формирования логического мышления младших школьников (по Н.Ф. Талызиной) и возможности начального курса математики для осуществления данной задачи.
Первое, чему необходимо научить школьника, по мнению автора мето- дики, - это умению выделять в предметах свойства. При этом следует специально формировать у детей умение видеть в предмете множество свойств, для чего «полезно показать им приём сопоставления данного предмета с другими предметами, обладающими другими свойствами» [34, с. 61].
Для организации деятельности учащихся, направленной на выделение признаков того или иного объекта, можно сначала предложить такие задания:
1. учитель демонстрирует детям какой-либо предмет и просит рассказать о нём. Например, арбуз - большой, зелёный, с полосками; монета - круглая, металлическая, блестящая; лист бумаги - плоский, белый, в клеточку и т.п.;
2. учитель показывает пары предметов или изображений и предлагает установить сходство или различие между ними.
Следующим шагом является формирование понятия об общих и отличительных признаках предметов, а затем формирование у детей умения отличать в предметах существенные с точки зрения определённого понятия и несущественные свойства. Свойство считают существенным, если оно присуще
данному объекту и он не может без него существовать. Несущественные свойства - это те, отсутствие которых не влияет на существование объекта. Здесь важно также показать, что любое существенное свойство является общим для данного класса предметов, но далеко не всякое общее их свойство является существенным.
Рассмотренные выше логические приёмы называются приёмами сравнения предметов и изменения свойств. Приём сравнения предметов даёт возможность выделять в них множество свойств, а приём изменения свойств позволяет отличать существенные свойства от несущественных.
Сравнение предполагает умение выполнять следующие действия:
– выделение признаков у объектов;
– установление общих признаков;
– выделение основания для сравнения (одного из существенных признаков);
– сопоставление объектов по данному основанию.
Анализ учебных программ по математике для начальной школы показывает, что целенаправленное формирование действия сравнения начинается уже в 1-м классе. Предложенные в учебниках упражнения, в ходе выполнения которых происходит решение какой-либо задачи, можно охарактеризовать как задания на
– определение основных свойств предметов: цвет, форма, размер, материал, назначение, расположение, количество;
– определение общего свойства группы предметов;
– разбиение предметов или фигур на группы, обладающие общим свойством;
– составление группы предметов по заданному свойству (признаку);
– выделение части группы;
– сравнение предметов и групп предметов по свойствам.
На уроках математики в начальной школе можно предлагать учащимся задания и на сравнение математических объектов:
Среди следующих записей найди выражения, и обоснуй свой выбор: 3+2; 6 - 1; х + 5 = 9.
В чём сходство и различие чисел: 32 и 45; 32 и 42; 32 и 23; 1 и 11; 2 и 12; 111 и 11; 112 и 12;
вычислительных приёмов: 9 + 6 = = (9 + 1) + 5 и 6 + 3 = (6 + 2) + 1;
выражений: 6 + 2 и 6 - 2; 9 * 4 = 9 * 5; 6 + (7 + 3) и 6 + 7 + 3 и т.д. [1, с.
].
Следующий шаг в формировании логического мышления учащихся - их знакомство с необходимыми и достаточными признаками. Важное действие - выведение следствия из факта принадлежности предмета к данному понятию. Это действие связано с понятием необходимых свойств предмета. Познакомить младших школьников с этим действием можно с помощью хорошо известных им предметов или геометрических фигур и определения у них тех свойств, которые в обязательном порядке есть у всех предметов данного класса. Затем вводится понятие признаков достаточных и признаков необходимых и одновременно достаточных. Например, свойство «иметь четыре прямых угла» для квадрата - необходимое, но не достаточное.
Дальнейшая работа будет связана с действием подведения под понятие, логическими правилами определений, установлением причинно-следственных связей и важным логическим приёмом - выведения следствий с соблюдением закона контрапозиции.
По мнению Н.Ф. Талызиной, уже в начальной школе можно приступить к работе над определениями. Однако до этого учащиеся должны усвоить отношения между родовыми и видовыми понятиями. При этом следует обратить внимание на то, что видовое понятие обязательно обладает свойствами родового, а родовое является следующей ступенью обобщения [4, с. 61]. Определение - это логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Способы определения понятия различны. Бывают явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух понятий, одно из которых называется определяемым, другое - определяющим.
Проанализируем, например, структуру определения квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны». «Квадрат» - это определяемое понятие, «прямоугольник» - родовое, «иметь равные стороны» - видовое отличие. Определение понятия по такой схеме называется определением через род и видовое отличие.
Впрочем, в начальной школе учащиеся не знакомятся с логической структурой определения. Заметим также, что в учебниках по математике определения через род и видовое отличие (явные определения) используются не всегда. «При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющие понятия. Среди них различают контекстуальные и остенсивные. В контекстуальных определениях содержание нового понятия вводится через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Остенсивные определения используются для введения терминов путём демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются» [3, с. 50].
Примером контекстуальных определений могут быть определения прямоугольного, тупоугольного и остроугольного треугольников, приведенные в учебнике математики для 3-го класса, ч. III (авторы Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких). На с. 54 представлено множество треугольников красного, синего и зелёного цветов (красные - прямоугольные, синие - тупоугольные, зелёные - остроугольные). Далее следует текст относительно данного чертежа: «Как можно назвать все красные треугольники? Все синие треугольники? Все зелёные треугольники? У всех красных треугольников есть прямой угол. Такие треугольники называются прямоугольными. У всех синих треугольников есть тупой угол. Такие треугольники называются тупоугольны- ми. У всех зелёных треугольников все углы острые. Такие треугольники называются остроугольными».
Остенсивные определения - это определения путём показа. Например, таким способом в начальном курсе математики в 1-м классе вводятся понятия равенства и неравенства:
Это равенства: 1 = 1, 2 = 2.
Это неравенства: 1 < 2, 2 > 1.