Материал: КонспектНМ14_2018

Нечіткі числа і інтервали у формі (l-r)-функцій

Нечіткі числа і інтервали, які найчастіше використовуються для представлення нечітких множин в нечіткому моделюванні, є нормальними. Проте представлені вище визначення нечіткого числа і нечіткого інтервалу дуже загальні, що утрудняє їх практичне використання. З обчислювальної точки зору зручно використовувати конкретніші визначення нечітких чисел і інтервалів у формі аналітичної апроксимації за допомогою так званих (L-R)-функцій. Отримані в результаті нечіткі числа і інтервали у формі (L-R)-функцій дозволяють охопити достатньо широкий клас конкретних функцій приналежності.

Визначення 6.14. Функція L-munу (а також і R-munу), в загальному випадку визначається як довільна функція L: R→[0,1] і R: R→[0,1], що задана на множині дійсних чисел, не зростає на підмножині невід’ємних чисел R+ і задовольняє наступним додатковим умовам:

L(-х)=L(x), R(-х)=R(x)– умова парності; (6.7)

L(0)=R(0) = 1 – умова нормування. (6.8)

Іноді в літературі можна зустріти ще одну умову, якій повинні, на думку деяких авторів, задовольняти функції (L-R)-типу: L(1)=R(1)=0. Оскільки з одного боку ця умова істотно обмежує клас функцій (L-R)-типу, а з іншого боку, трикутні нечіткі числа, що розглядаються нижче, і трапецієвидні нечіткі інтервали узгоджуються з виконанням цієї властивості, ми його не будемо її включати у визначення функцій (L-R)-типу.

Як неважко подмітити, розглянуті раніше в розділі 3 трикутна функція приналежності f_∆(X; а, b, с) при b=0 і а=-с (3.1), трапецієвидна функція приналежності f_T(X; а, b, с, d) при а=-d і с=-b (3.2) є функціями (L-R) -типу, оскільки задовольняють умовам визначення (6.7) – (6.8).

Прикладами L-функцій і, відповідно, R-функцій є також наступні функції, які в загальному випадку можуть бути задані аналітично у вигляді:

де р – деякий параметр, який задовольняє умові: р>0. Графіки функцій цього типу для конкретного значення параметра р=2 зображені на рис. 6.3.

Визначення 6.15. Нечітким числом (L-R)-munу називатимемо нечітку величину , функція приналежності якої може бути представлена у формі композиції деякої L-функції і деякої R-функції в наступному вигляді:

де α>0 і β>0. При цьому параметр а є модою або модальним значенням нечіткого числа, а параметри α і β є лівим і правим коефіцієнтами нечіткості відповідно. Як видно з цього визначення, при завданні нечітких чисел (L-R)-типу можуть використовуватися, взагалі кажучи, дві різні функції вказаного вигляду, що істотно розширює діапазон їх можливих представлень.

З даного визначення виходить, що нечітке число (L-R)-типу з функцією приналежності , при фіксованих L і R функціях цілком визначається трійкою своїх параметрів <а, α, β>, що виявляється вельми зручним для виконання операцій з подібними числами. Щоб відзначити той факт, що нечітке число є (L-R)-типу, його позначатимемо спеціальним чином: _LR =< а, α, β >_LR. Розширенням поняття нечіткого числа (L-R)-типу є поняття нечіткого інтервалу (L-R)-типу.

Рис. 6.3. Графіки L-функцій і R-функцій, заданих формулами (6.9) (а) і (6.10) (б) відповідно, для значення параметру р=2

Визначення 6.16. Нечітким інтервалом (L-R)-munу називатимемо нечітку величину, функція приналежності якої може бути представлена у формі композиції деякої L-функції і деякої R-функції в наступному вигляді:

де α>0 і β>0. При цьому параметри а і b визначають ядро нечіткого інтервалу (а < b) і називаються відповідно нижнім і верхнім модальними значеннями нечіткого інтервалу. Параметри α і β як і раніше називаються лівим і правим коефіцієнтами нечіткості відповідно. Слід зазначити, що нечіткий інтервал (L-R)-типу часто називають толерантним нечітким числом (L-R)-типу.

Функція приналежності , нечіткого інтервалу (L-R)-типу при фіксованих L і R функціях цілком визначається четвіркою своїх параметрів <а, b, α, β>, що виявляється вельми зручним для виконання операцій з подібними інтервалами. Щоб відзначити той факт, що нечіткий інтервал є (L-R)-типу, його позначатимемо спеціальним чином: _LR=< а,b, α, β >_LR.

З визначень (6.11) і (6.12) видно, що при завданні нечітких чисел і інтервалів (L-R)-типу можуть використовуватися дві різні функції вказаного вигляду. При цьому у разі рівності параметрів а=b нечіткий інтервал (L-R)-типу перетворюється на нечітке число (L-R)-типу.

Як приклади введених понять можна привести конкретне нечітке число (L-R)-типу _LR =<2, 1, 2>_LR. і нечіткий інтервал (L-R)-типу _LR =<1, 3, 2, 1>_LR, де в якості функції L-типу використана функція (6.9) із значенням параметра р=2, а в якості функції R-типу використана функція (6.9) із значенням параметра р=3. Графічне зображення цих нечіткого числа і нечіткого інтервалу (L-R) -типів представлено на рис. 6.4.

Рис. 6.4. Графіки нечіткого числа (L-R)-типу _LR =<2, 1, 2>_LR (а) і нечіткого інтервалу (L-R)-типу _LR =<1, 3, 2, 1>_LR (б)

Операції над нечіткими числами і інтервалами (l-r)-типу

При визначенні операцій над нечіткими числами і інтервалами (L-R)-типу слід виходити з наступних міркувань. Результат арифметичних операцій складання, віднімання, ділення і множення повинен бути точно або приблизно рівний деякому нечіткому числу або інтервалу з тими ж функціями L-типу і R-типу, а параметри їх результату повинні деяким однозначним чином залежати від аналогічних параметрів початкових нечітких чисел і інтервалів (L-R)-типу.

З цією метою для визначення аналогів звичайних арифметичних операцій над нечіткими числами і нечіткими інтервалами (L-R)-типу доцільно використовувати принцип узагальнення (5.20). Чудовою властивістю визначених у такий спосіб арифметичних операцій (складання, віднімання, множення і ділення) є те, що вони визначаються на основі значень відповідних параметрів їх (L-R)-представлення.

Нехай _LR і _LR – довільні нечіткі числа (L-R)-типу, задані параметрично у вигляді: _LR=<а₁, α₁, β₁>_LR і _LR=<а₂, α₂, β₂>_LR.

Визначення 6.17. Операція складання нечітких чисел (L-R)-типу позначається через , де параметри а, α і β результату визначаються таким чином:

a=a1+a2, б=б1+б2, в=в1+в2. (6.13)

Визначення 6.18. Операція віднімання нечітких чисел (L-R) -типа позначається через, де параметри а, а і в результату визначаються таким чином:

a=a₁+a₂, α=α₁+α₂, β=β₁+β₂. (6.14)

Операції множення і ділення нечітких чисел (L-R)-типу можуть бути визначені при виконанні деяких додаткових умов.

Визначення 6.19. Множення додатних нечітких чисел (L-R)-типу і , тобто носії яких є підмножинами R+, а модальні значення a1>0 і a2>0. Операція множення таких нечітких чисел (L-R)-типу позначається де параметри а, α і β в результату визначаються таким чином:

a=a₁–a₂, α=α₁+β₂, β=β₁+α₂. (6.15)

Визначення 6.20. Множення нечітких чисел (L-R)-типу і , для яких модальні значення різних знаків: α₁<0 и α₂>0. Операція множення таких нечітких чисел (L-R)-типу також позначається через , де параметри а, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁a₂, α=a₂α₁-a₁β₂, β=a₂β₁–a₁α₂. (6.16)

Визначення 6.21. Множення нечітких чисел (L-R)-типа і , для яких модальні значення від’ємні: α₁<0 и α₂<0. Операція множення таких нечітких чисел (L-R)-типу також позначається через , де параметри а, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁a₂, α=–a_2β1-a₁β₂, β=–a₂α₁–a₁α₂. (6.17)

Визначення 6.22. Ділення позитивних нечітких чисел (L-R)-типу і , тобто носії яких є підмножинами R+_, а модальні значення α₁>0 и α₂>0. Операція ділення таких нечітких чисел (L-R)-типу позначається через, де параметри а, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁/a₂, α=(a₁β₂+a₂α₁)/a₂², β=(a₁α₂+a₂β₁)/a₂². (6.18)

Визначення 6.23. Зворотне нечітке число для додатного нечіткого числа (L-R)-типу , тобто носій якого є підмножиною R+, а модальне значення a₁>0 позначається через , параметри якого а, α і β визначаються таким чином:

a=1/a₁, α=β₁/a₁², β=α₁/a₁². (6.19)

В якості прикладу виконання операцій з нечіткими числами (L-R)-типу розглянемо два конкретні нечіткі числа: "нечітка трійка" і "нечітка двійка". Для зручності припустимо, що ці нечіткі числа задані з використанням однакової L-функції і R-функції, в якості якої візьмемо вже відому нам функцію (6.9) із значенням параметру р=2. Конкретні значення функцій приналежності цих нечітких чисел зображені на рис. 6.5, при цьому значення параметрів нечітких чисел наступні: a₁=3, a₁= β₁=2, a₂=2, a₂= β₂=1.