Узагальненням нечіткої змінної є так звана лінгвістична змінна.

Визначення 6.2. Лінгвістична змінна також визначається як кортеж: <β, Т, X, G, М>, де:

β – найменування або назва лінгвістичної змінної;

Т – базова терм-множина лінгвістичної змінної або множина її значень (термів), кожне з яких є найменуванням окремої нечіткої змінної β;

X – область визначення (універсум) нечітких змінних, які входять у визначення лінгвістичної змінної β;

G – деяка синтаксична процедура, яка описує процес утворення або генерування з множини Т нових, осмислених в даному контексті значень для даної лінгвістичної змінної;

М – семантична процедура, яка дозволяє поставити у відповідність кожному новому значенню даної лінгвістичної змінної, що може бути отримана за допомогою процедури G, деякий осмислений зміст за допомогою формування відповідного нечіткої множини.

Приклад 6.1. В якості прикладу розглянемо ситуацію із швидкістю руху автомобільного транспорту в межах міської межі. Хоча правила дорожнього руху регламентують величину цієї швидкості, проте багато автоаматорів вважають за краще давати власну суб'єктивну оцінку своєї швидкості руху. При цьому використовуються такі визначення, як "мала швидкість", "середня швидкість" і "висока швидкість" руху. Очевидно, що подібна практична оцінка швидкості може відноситися до діапазону швидкостей в межах інтервалу від 0 км/г до деякої величини, визначуваної особистими перевагами того або іншого водія. Хай в нашому прикладі з міркувань зручності це буде величина 100 км/г.

Формалізація суб'єктивної оцінки швидкості руху може бути виконана за допомогою наступної лінгвістичної змінної <β₁, Т, X, G, М >, де

β₁ – швидкість руху автомобіля;

Т = {"мала швидкість", "середня швидкість", "висока швидкість"};

Х = [0,100];

G – процедура утворення нових термів за допомогою логічних зв'язок "І", "АБО" і модифікаторів типу "дуже", "НЕ", "злегка" і ін. Наприклад: "мала або середня швидкість", "дуже висока швидкість" і ін.;

M – процедура завдання на X = [0,100] нечітких змінних α₁ = "мала швидкість", α₂ ="середня швидкість",α₃ = "висока швидкість", а також відповідних нечітких множин для термів з G(T) відповідно до правил трансляції нечітких зв'язок і модифікаторів "І", "АБО", "НЕ", "дуже", "злегка".

Конкретні процедури G і М будуть розглянуті нами далі. Стосовно даного конкретного прикладу можна обмежитися припущенням про їх тривіальний характер, тобто ніяких логічних зв'язок і модифікаторів ми не будемо використовувати.

Для цього прикладу нечіткі множини A1, A2, A3, відповідні нечітким змінним: α₁ = "мала швидкість", α₂ = "середня швидкість", α₃ = "висока швидкість", зручно представити графічно за допомогою кусочно-лінійних функцій приналежності. Один з можливих конкретних варіантів цих нечітких множин зображений на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Графіки функцій приналежності нечітких множин A1, A2, A3, що відповідають нечітким змінним α₁ = "мала швидкість" (а), α₂ = "середня швидкість" (б), α₃ = "висока швидкість" (в) для лінгвістичної змінної β₁ (швидкість руху автомобіля)

Іноді для наочності, графіки функцій приналежності декількох нечітких змінних, що використовуються для завдання однієї лінгвістичної змінної, зображають на одному рисунку. Стосовно прикладу 6.1 всі три графіки представлено на рис. 6.2, що дозволяє порівнювати значення функцій приналежності відповідних нечітких змінних для різних значень універсуму.

Рис. 6.2. Графіки функцій приналежності нечітких множин A1, A2, A3, що зображені на одному малюнку

Разом з розглянутими вище базовими значеннями лінгвістичної змінної "швидкість руху автомобіля" (Т={"мала швидкість", "середня швидкість", "висока швидкість"}) можливі і інші значення цієї ж лінгвістичної змінної, що залежать від конкретної величини швидкості руху. Наприклад, можуть бути визначені такі додаткові значення лінгвістичної змінної "швидкість руху автомобіля", як "близько 30 км/г", "близько 50 км/г", "близько 70 км/г". Як буде видно з подальшого викладу матеріалу, ці значення лінгвістичної змінної зручно моделювати за допомогою нечітких чисел.

Нечіткі величини, числа і інтервали

Процес нечіткого моделювання ґрунтується на кількісному представленні вхідних і вихідних змінних системи у формі нечітких множин. Таке уявлення пов'язане з розглядом спеціальних нечітких множин, які задаються на множині дійсних чисел і мають деякі додаткові властивості. Найбільш загальним поняттям в цьому контексті є поняття нечіткої величини.

Визначення 6.3. Нечіткою величиною називається довільна нечітка множина , що задана на множині дійсних чисел R, тобто для якого універсумом X служить вся множина R. Іншими словами, функція приналежності нечіткої величини є відображення: R→[0,1]. Якщо в якості універсуму взяти підмножину невід’ємних дійсних чисел R+_, то отримаємо визначення невід’ємної нечіткої величини B+_.

Прикладами нечітких величин є нечіткі множини, функції приналежності яких зображені на рис. 3.1 – 3.8. Більш того, всі ці нечіткі величини є невід’ємними. З іншого боку, розглянуті в прикладах 1.1 і 1.3 нечіткі множини не є нечіткими величинами.

Найбільший інтерес для нечіткого моделювання представляє конкретизація нечіткої величини у формі нечітких чисел і інтервалів.

Визначення 6.4. У загальному випадку нечітким інтервалом називається нечітка величина з опуклою функцією приналежності.

Прикладами нечітких інтервалів можуть служити нечіткі множини з функціями приналежності, зображеними на рис. 2.2, а, 2.3, а і 3.1, б, а також на рис. 3.2 – 3.6. З іншого боку, нечітка множина з функцією приналежності, що зображена на рис. 2.3, б, не є нечітким інтервалом.

У літературі нечіткий інтервал іноді називають також толерантним нечітким числом.

Визначення 6.5. У загальному випадку нечітким числом називається така нечітка величина, функція приналежності якої є опуклою і унімодальною.

Прикладами нечітких чисел можуть служити нечіткі множини з функціями приналежності, зображеними на рис. 2.3, а, 3.1, а і 3.8, б. З іншого боку, нечітка множина з функцією приналежності, що зображена на рис. 2.3, б, не є нечітким інтервалом. Як видно з цих прикладів, нечітке число в загальному випадку є окремим випадком нечіткого інтервалу, що повністю узгоджується із звичайними числами і інтервалами на множині дійсних чисел.

При загальному визначенні нечіткого інтервалу і нечіткого числа не робиться ніяких припущень щодо нормальності відповідних нечітких множин. З іншого боку, функції приналежності нечітких чисел і інтервалів, в загальному випадку, можуть і не мати аналітичного уявлення. Все це утрудняє практичне використання цих загальних понять для вирішення конкретних завдань нечіткого моделювання. З цієї причини надалі розглядаються деякі способи уточнення даних понять на основі використання типових функцій приналежності.

Оскільки нечіткими числами і інтервалами є нечіткі множини, то для них виявляються справедливими всі властивості і операції, визначені раніше для нечітких множин. Це повною мірою відноситься до визначення нормального нечіткого числа і нормального нечіткого інтервалу, носія і ядра, а також властивостей опуклості і унімодальності нечітких чисел і нечітких інтервалів, які були використані при їх визначенні (див. розділи 2 і 3).

Додатково нечіткі числа можуть характеризуватися наступними властивостями.

Визначення 6.6. Нечітке число називається нечітким нулем, якщо його модальне значення (мода) дорівнює 0.

Визначення 6.7. Нечітке число називається додатним (або від’ємним) нечітким числом, якщо воно має строго додатний (відповідно, строго від’ємний) носій.

Операції над нечіткими числами інтервалами

Для нечітких чисел і інтервалів у загальному випадку з використанням принципу узагальнення (4.23) можуть бути визначені аналоги звичайних арифметичних операцій. В цьому випадку розширені бінарні арифметичні операції (складання, віднімання, множення і ділення) для нечітких чисел і інтервалів визначаються через відповідні операції для звичайних дійсних чисел.

Нехай і – довільні нечіткі числа (нечіткі інтервали).

Визначення 6.8. Операція складання нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається за формулою:

Визначення 6.9. Операція віднімання нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається за формулою:

Визначення 6.10. Операція множення нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається за формулою:

Визначення 6.11. Операція ділення нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається за формулою:

У виразах (6.1)–(6.4) праворуч від знаку рівності супремум береться по кожному з сукупності значень елементів універсуму, які у свою чергу є результатом відповідної звичайної арифметичної операції над чисельними значеннями елементів універсуму початкових нечітких чисел (інтервалів).

Наприклад, хай задано нечітке число – "нечітка одиниця", яке описується наступною скінченною нечіткою множиною: ={<0, 0.2>, <1, 1.0>, <2,0.2>}.

Розглянемо виконання нечіткої операції складання – "нечітка одиниця" плюс "нечітка одиниця" з використанням формули (6.1).

Послідовно отримаємо: + ={<0, 0.2>, <l, 1.0>, <2, 0.2>}+{<0, 0.2>, <l, 1.0>, <2, 0.2>}={<0, min{0.2, 0.2}>, <l, max{min{0.2, 1.0}, min{1.0, 0.2}>, <2, max{min{0.2, 0.2}, min{1.0, 1.0}, min{0.2, 0.2}>, <3, max{min{1.0, 0.2}, min{0.2, 1.0}>, <4, min{0.2, 0.2}>}={<0, 0.2>, <1, 0.2>, <2, 1.0>, <3, 0.2>, <4, 0.2>}.

Можливо, операція складання нечітких чисел стане зрозумілішою, якщо взяти до уваги, що значення результату виходять як різні комбінації доданків звичайної арифметичної операції складання: 0=0+0, 1=0+1=1+0, 2=0+2=1+1=2+0, 3=1+2=2+1, 4=2+2. Очевидно, що для скінченних множин замість операції супремум можна використовувати операцію максимум. Отримане в результаті нечітке число можна назвати "нечітка двійка".

Аналогічним чином можна отримати інше нечітке число – "нечіткий нуль", як результат виконання операції віднімання з використанням формули (6.2). В цьому випадку отримаємо: "нечіткий нуль", який дорівнює "нечітка одиниця" мінус "нечітка одиниця" або - ={<0, 0.2>, <1, 1.0>, <2, 0.2>} – {<0, 0.2>, <1, 1.0>, <2, 0.2>} = {<-2, min{0.2, 0.2}>, <-1, max{min{0.2, 1.0}, min{1.0, 0.2}>, <0, max{min{0.2, 0.2}, min{1.0, 1.0}, min{0.2, 0.2}>, <1, max{min{1.0, 0.2}, min{0.2, 1.0}>, <2, min{0.2, 0.2}>} = {<-2, 0.2>, <-l, 0.2>, <0, 1.0>, <1,0.2>, <2, 0.2>}.

Іноді можуть представляти інтерес операції розширеного максимуму і розширеного мінімуму нечітких чисел (інтервалів), які визначаються таким чином.

Визначення 6.12. Операція розширеного максимуму нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається як:

Визначення 6.13. Операція розширеного мінімуму нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається як:

Наприклад, нехай задано два нечітких числа – "нечітка одиниця" і "нечіткий нуль", які описуються наступними скінченними нечіткими множинами: ={<0, 0.2>, <1, 1.0>, <2, 0.2>} і ={<-1, 0.1>, <0, 1.0>, <1, 0.1>}. Розглянемо виконання нечіткої операції розширеного максимуму з використанням формули (6.5). Послідовно отримаємо: ={<0, max{min{0.2, 0.1}, min{0.2, 1.0}>, <l, max{min{1.0, 0.1}, min{1.0, 1.0}, min{1.0, 0.1}, min{0.2, 1.0}>, <2, max{min{0.2, 0.1}, min{0.2, 1.0},min{0.2, 0.1}>} = {<0, 0.2>, <1, 1.0>, <2, 0.2>}, тобто результат дорівнює "нечіткій одиниці".

При цьому значення результату виходять як різні комбінації операції звичайного максимуму над парами значень початкових нечітких множин: 0 = max{0 -1}= mах{0, 0}, 1= mах{1 -1}= mах{1, 0}= max {1, 1} = mах{0, 1}, 2 = mах{2-1}= mах{2, 0}= mах{2, 1}.

Аналогічним чином для цього прикладу можна виконати нечітку операцію розширеного мінімуму з використанням формули (6.6). Послідовно отримаємо: ={<-l, max{min{0.2, 0.1}, min{1.0, 0.1}, min{0.2, 0.1}>, <0, max{min{0.2, 1.0}, min{0.2, 0.1}, min{0.2, 1.0}, min{1.0, 1.0}>, <l, max{min{1.0, 0.1}, min{0.2, 0.1}>} = {<-l, 0.1>, <0, 1.0>, <1, 0.1>}, тобто результат дорівнює "нечіткому нулю".