Материал: КонспектНМ14_2018

Рис. 6.5. Графік нечіткого числа (L-R)-типу: "нечітка трійка" (а)

Рис. 6.5. Графік нечіткого числа (L-R)-типу: "нечітка двійка" (б)

Результати виконання операцій складання і віднімання цих нечітких чисел з використанням формул (6.13) і (6.14) зображені на рис. 6.6, а і рис. 6.6, б. Ці результати можна назвати "нечітка п'ятірка" і "нечітка одиниця" відповідно. Результати виконання операцій множення і ділення цих нечітких чисел з використанням формул (6.15) і (6.18) зображені на рис. 6.6, в і рис. 6.6, г. Ці результати можна назвати "нечітка шестірка" і "нечіткий дріб 3/2" відповідно. При цьому слід відмітити, що для зручності зображені лише фрагменти графіків результуючих функцій приналежності поблизу їх модальних значень.

Аналогічним чином можна визначити операції над нечіткими інтервалами (L-R)-типу, а також операції розширеного максимуму і розширеного мінімуму нечітких чисел і інтервалів (L-R)-типу. Оскільки подібні операції характеризуються підвищеною складністю відповідних чисельних розрахунків, вони не знайшли широкого застосування в практиці нечіткого моделювання.

Рис. 6.6. Графіки нечітких чисел (L-R) -типа: "нечітка п'ятірка" (а) і "нечітка одиниця" (б), які є результатами виконання операцій складання і віднімання нечітких чисел (L-R)-типу: "нечітка трійка" і "нечітка двійка" відповідно

Рис. 6.6. Графіки нечітких чисел (L-R) - типу: "нечітка шестірка" (в) і "нечіткий дріб 3/2" (г), які є результатами виконання операцій множення і ділення нечітких чисел (L-R)- типу: "нечітка трійка" і "нечітка двійка" відповідно

Найбільший інтерес з практичної точки зору представляють аналоги арифметичних операцій, визначені для трикутних нечітких чисел і трапецієвидних нечітких інтервалів, які відрізняються наочністю і простотою інтерпретації отримуваних результатів. Ці поняття є темою наступного підрозділу.

Трикутні нечіткі числа і трапецієвидні нечіткі інтервали

При вирішенні практичних завдань нечіткого моделювання найбільше застосування знайшли прості окремі випадки нечітких чисел і інтервалів, що отримали свою назву по вигляду їх функцій приналежності. Ці нечіткі числа і інтервали можна розглядати як окремий випадок нечітких чисел і інтервалів (L-R)-типу, якщо в якості відповідних функцій L-типу і R-типу використовувати їх граничні випадки, а саме – лінійні функції. При цьому доцільність використання трапецієвидних нечітких інтервалів і трикутних нечітких чисел обумовлюється не тільки простотою виконання операцій над ними, але і їх наочною графічною інтерпретацією.

Визначення 6.24. Трикутним нечітким числом (скорочено – ТНЧ) називатимемо таке нормальне нечітке число, функція приналежності якого може бути задана трикутною функцією f_∆..

В цьому випадку ТНЧ зручно представити у вигляді кортежу з трьох чисел: = <a, α, β>_∆., де а – модальне значення ТНЧ; α і β – лівий і правий коефіцієнти нечіткості ТНЧ. Оскільки, як було відмічено в розділі 3, кожна трикутна функція приналежності породжує нормальну унімодальну опуклу нечітку множину з непорожнім носієм – відкритим інтервалом (a-α, a+β), то ТНЧ є окремим випадком нечіткого числа (L-R)-типу.

Нагадаємо, що трикутна функція приналежності f_∆ характеризується трьома параметрами і в загальному випадку з використанням виразу (3.1) може бути записана у вигляді f_∆(x; a, b, c). При цьому параметри ТНЧ = <a, α, β>_∆.., однозначним чином пов'язані з параметрами трикутної функції приналежності f_∆(x; a, b, c). А саме, модальне значення ТНЧ тотожно дорівнює параметру b функції приналежності f_∆(x; a, b, c), тобто a=b, а лівий і правий коефіцієнти нечіткості ТНЧ відповідно дорівнюють: а=b-а, β=c-b.

Приклад конкретного ТНЧ <3, 1, 2>_., яке відповідає "нечіткій трійці", зображений на рис. 6.7, а. Очевидно, прикладами ТНЧ також можуть служити нечіткі множини, функції приналежності яких зображені на рис. 3.1, а, а також на мал. 6.1, б.

Визначення 6.25. Трапецієвидним нечітким інтервалом (скорочено – ТНІ) називатимемо нормальний нечіткий інтервал, функція приналежності якого може бути задана трапецієвидною функцією f_T.

В цьому випадку ТНІ зручно представити у вигляді кортежу з чотирьох чисел: = <a, b, α, β>_T, де а і b – відповідно нижнее і верхнє модальні значення ТНІ; α и β – лівий і правий коефіцієнти нечіткості ТНІ. Оскільки кожна трапецієвидна функція приналежності породжує нормальну опуклу нечітку множину з непорожнім носієм – відкритим інтервалом (a–α, b+β), то ТНІ є окремим випадком нечіткого інтервалу (L-R)-типу. Як неважко помітити, трикутне нечітке число є окремим випадком трапецієвидного нечіткого інтервалу = <a, b, α, β>_T при a=b.

Трапецієвидна функція приналежності f_T характеризується чотирма параметрами і в загальному випадку з використанням виразу (3.2) може бути записана у вигляді f_T(х; а, b, с, d). При цьому параметри ТНІ = <a, b, α, β>_T однозначним чином пов'язані з параметрами трапецієвидної функції приналежності f_T(х; а, b, с, d). А саме, нижнє модальне значення ТНІ тотожно дорівнює параметру b функції приналежності f_T(х; а, b, с, d), верхнє модальне значення ТНІ тотожно рівне параметру с функції приналежності f_T(х; а, b, с, d), тобто b=с, а лівий і правий коефіцієнти нечіткості ТНЧ відповідно дорівнюють: α=b–a, β=d–c.

Приклад конкретного ТНІ <4, 6, 2, 1>_Т, яке відповідає "нечіткому інтервалу від 4 до 6", зображений на рис. 6.7, б. Прикладами ТНІ можуть служити також нечіткі множини, функції приналежності яких зображені на рис. 3.1, б, 3.5, 6.1, а, в.

Рис. 6.7. Графічне представлення ТНЧ A_∆= <3,2,1>_∆, (а) і ТНІ A_T<4,6,2,1>_Т (б)

Операції над трикутними нечіткими числами і трапецієвидними нечіткими інтервалами

Нехай і – два довільних трикутних нечітких числа, які задані параметрично у вигляді: = <a₁, α₁, β₁>_{∆ і} = < a₂, α₂, β₂>_∆.. Для цих ТНЧ виявляються справедливими аналоги звичайних арифметичних операцій, введених вище для трикутних нечітких чисел (L-R)-типу. А саме, операція складання ТНЧ визначається виразом (6.13), операція віднімання ТНЧ – виразом (6.14), операція множення ТНЧ – виразами (6.15)–(6.17), операція ділення – виразом (6.18), і, нарешті, зворотне ТНЧ – виразом (6.19).

Наприклад, для конкретних ТНЧ =<3, 1, 2>_. і =<2, 2, 1>_. результати арифметичних операцій наступні: + =<5, 3, 3>_., - = <1 ,2 ,4>_., ∙ =<6, 8, 7>_., ÷ = <1.5, 1.25, 2.5>_.. Графіки результатів операцій з цими ТНЧ зображені на рис. 6.9 (а–г) відповідно.

Рис. 6.9. Графіки ТНЧ: "нечітка п'ятірка" (а) і "нечітка одиниця" (б), "нечітка шестірка" (в) і "нечіткий дріб 3/2" (г), які є результатами виконання операцій складання, віднімання, множення і ділення ТНЧ: "нечітка трійка" і "нечітка двійка" відповідно

Перейдемо до розгляду операцій з ТНІ. Нехай і – два довільних трапецієвидних нечітких інтервалу, які задані параметрично у вигляді: =< a₁, b₁, α₁, β₁>_T і =< a₂, b₂, α₂, β₂>_T.

Визначення 6.26. Операція складання ТНІ позначається через + = = < a, b, α, β>_T, де параметри а, b, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁+a₂, b=b₁+b₂, α=α₁+α₂, β=β₁+β₂. (6.20)

Визначення 6.27. Операція віднімання ТНІ позначається через – = = < a, b, α, β>_T, де параметри а, b, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁–a₂, b=b₁–b₂, α=α₁+β₂, β=β₁+α₂. (6.21)

Визначення 6.28. Множення додатних ТНІ і , тобто носії яких є підмножинами R+_, а всі модальні значення додатні. Операція множення таких ТНІ позначається через * = =< a, b, α, β>_T, де параметри а, b, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁a₂, b=b₁b_2, α=a₁α₂+a₂α₁, β=b₁β₂+b₂β₁. (6.22)

Визначення 6.29. Ділення позитивних ТНІ і , тобто носії яких є підмножинами R+_, а всі модальні значення додатні. Операція ділення таких ТНІ позначається через = = < a, b, α, β>_T, де параметри а, b, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁/b₂, b=b₁/a_2, α=(a₁β₂+b₂α₁)/b₂², β=(b₁α₂+a₂β₁)/a₂². (6.23)

Наприклад, розглянемо два конкретних ТНІ: =<3, 5, 1, 2>_T і =<1, 2, 1, 1>_T. Перший з них відповідає "нечіткому інтервалу від трьох до п'яти", а другий – "нечіткому інтервалу від одиниці до двох". Тоді результат їх складання з використанням формул (6.20) дорівнює ТНІ + =<4, 7, 2, 3>_T і відповідає "нечіткому інтервалу від чотирьох до семи". Результат віднімання з першого ТНІ другого ТНІ з використанням формул (6.21) дорівнює ТНІ: – = <2, 3, 2, 3>_T і відповідає "нечіткому інтервалу від двох до трьох". Графіки відповідних ТНІ представлені на рис. 6.10.