Материал: КонспектНМ14_2018

Рис. 6.10. Графіки ТНІ: "нечіткий інтервал від трьох до п'яти" (а), "нечіткий інтервал від одиниці до двох" (б), а також результат їх складання (в) і віднімання (г)

Для нас представляють інтерес операції розширеного максимуму і розширеного мінімуму ТНІ = <a₁, b₁, α₁, β₁>_{T і} = < a₂, b₂, α₂, β₂>_T (відповідно – ТНЧ), які визначаються таким чином.

Визначення 6.30. Операція розширеного максимуму ТНІ позначається через max{ , }= = <a, b, α, β>_T, де параметри a, b, α і β результату визначаються таким чином:

a = max{a₁,a₂}, b = max{b₁,b₂},

α= a–max{a₁-α₁, a₂-α₂}, β = max{b₁+β₁, b₂+ β₂}–b. (6.27)

Визначення 6.31. Операція розширеного мінімуму ТНІ позначається через min{ , }= = <a, b, α, β>_T, де параметри a, b, α і β результату визначаються таким чином:

a = min{a₁,a₂}, b = min{b₁,b₂},

α= a–min{a₁-α₁, a₂-α₂}, β = min{b₁+β₁, b₂+ β₂}–b. (6.28)

На закінчення приведемо деякі рекомендації, які доцільно використовувати в процесі представлення різних термів тих або інших лінгвістичних змінних нечіткими числами і інтервалами (L-R)-типу, а також їх простішими окремими випадками – ТНЧ і ТНІ (див. табл. 6.1).

Таблиця 6.1. Представлення термів лінгвістичних змінних

Підводячи підсумок, відмітимо, що при вирішенні практичних завдань нечіткого моделювання найбільш зручними виявляються ТНЧ і ТНІ. Саме вони найчастіше використовуються для представлення вхідних і вихідних змінних нечітких моделей систем управління.

Контрольні питання

1. Поняття нечіткої та лінгвістичної змінної.

2. Нечіткі величини, числа, інтервали.

3. Операції над нечіткими числами та інтервалами.

4. Нечіткі числа та інтервали у формі (L-R)-функцій.

5. Операції над нечіткими числами та інтервалами (L-R)-типу.

6. Трикутні нечіткі числа та трапецієвидні нечіткі інтервали.

7. Операції над трикутними нечіткими числами та трапецієвидними нечіткими інтервалами.

Тема 6. Основи нечіткої логіки

Нечітка логіка призначена для формалізації людських здібностей щодо неточних або наближених міркувань, які дозволяють адекватніше описувати ситуації з невизначеністю. Класична логіка за своєю суттю ігнорує проблему невизначеності, оскільки всі вислови і міркування у формальних логічних системах можуть мати тільки значення "істина" (І, 1) або значення "хибність" (Х, 0). На відміну від цього в нечіткій логіці істинність міркувань оцінюється в деякій мірі, яка може приймати і інші відмінні від {І, Х} значення.

Щоб мати можливість виражати невизначені знання, необхідна така логічна система, яка дозволяє деякому вислові мати істиннісне значення, що відрізняється від бінарного І або Х. Один з підходів, – розширити множину істиннісних значень {І, Х} і дозволити висловав приймати деякі додаткові значення істинності. Одним з перших логіків, що запропонували в 1930 р. варіант багатозначної логічної системи, що відрізняється від класичної бінарної логіки, був польський математик Ян Лукасевич (1878–1956). У тризначній логіці Лукасевича використовується три істиннісні значення: {0, 0.5, 1}, де значення 0 інтерпретується як "хибність", 1 – як "істина", а число 0.5– як "можливо". В якості висловів з істиннісним значенням "можливий" можуть виступати такі, які відносяться до деякого моменту часу в майбутньому.

Так, наприклад, вислів "Збірна України по футболу вийде в 1/8 фіналу на майбутньому Чемпіонаті світу" до початку Чемпіонату не може бути оцінений ні як істинний, ні як хибний. Саме з цієї причини адекватнішою відповіддю на питання про його істинність буде використання тризначної логіки з відповідною інтерпретацією істинності у формі значення "можливий".

Разом з поняттям нечіткої множини, Лофті Заде запропонував узагальнення класичної логіки на основі розгляду нескінченної множини значень істинності. Далі в цьому розділі викладені основи нечіткої логіки, яка використовує основні поняття теорії нечітких множин для формалізації неточних знань і реалізації наближених міркувань в тій або іншій проблемній області.

Поняття нечіткого вислову і нечіткого предикату

У запропонованому Л. Заде варіанті нечіткої логіки множина істиннісних значень висловів узагальнюється до інтервалу дійсних значень [0, 1], що дозволяє вислову приймати будь-яке значення істинності з цього інтервалу. Це чисельне значення є кількісною оцінкою ступеня істинності вислову, щодо якого не можна з повною упевненістю укласти про його істинність або хибність. Використання в якості множини істиннісних значень інтервалу [0, 1] дозволяє побудувати логічну систему, в рамках якої виявилося можливим виконувати міркування з невизначеністю і оцінювати істинність висловів типу: "Швидкість автомобіля досить висока", "Тиск в системі вельми значний", "Висота польоту літака гранично низька" і ін.

Початковим поняттям нечіткої логіки є поняття елементарного нечіткого вислову.

Визначення 7.1. У загальному випадку елементарним нечітким висловом називається розповідне речення, що виражає закінчену думку, щодо якої ми можемо судити про її істинність або хибність тільки з деякою мірою упевненості. Елементарні нечіткі вислови для зручності позначатимемо тими ж буквами, що і нечіткі множини: , , (можливо, з індексами). Самі елементарні нечіткі вислови іноді називають просто нечіткими висловами.

Головною відмінністю елементарного нечіткого вислову від елементарного вислову математичної логіки є наступний факт. Множина значень істинності елементарних висловів класичної математичної логіки складається з двох елементів: {"істина", "хибність"} ({І, Х} або {0, 1}), при цьому значенню "істина" відповідає цифра 1 або буква І, а значенню "хибність" – цифра 0 або буква Х. У нечіткій логіці ступінь істинності елементарного нечіткого вислову приймає значення із замкнутого інтервалу [0, 1], причому 0 і 1 є граничними значеннями ступеню істинності і співпадають із значеннями "хибність" і "істина" відповідно.

Приклад 7.1. Нижче наводиться декілька прикладів елементарних нечітких висловів:

1. О. Бендер має досить високий зріст.

2. Завтра буде похмура погода.

3. 3 – мале число.

4. ВАЗ 2110 є швидкісним автомобілем.

5. Можливо, нам подадуть гарячу каву.

Змістовно невизначеність нечітких висловів може мати різну природу. Так, наприклад, невизначеність оцінки істинності у вислові (1) пов'язана з нечіткістю визначення поняття "високий зріст", яке є нечіткою змінною. Аналогічний характер невизначеності мають нечіткі вислови (3) і (4), пов'язані з визначенням нечітких змінних "мале число" і "швидкісний автомобіль" відповідно. Що стосується висловів (2) і (5), то тут окрім визначення нечітких змінних "похмура погода" і "гаряча кава" слід оцінити їх істинність відносного деякого моменту часу в майбутньому. Загальною для всіх цих висловів є те, що про їх істинність ми можемо судити лише з деякою мірою, яка кількісно оцінюється дійсним числом з інтервалу [0, 1].

Для оцінки ступеню істинності довільного нечіткого вислову зручно використовувати спеціальне відображення Т, яке діє з множини даних нечітких висловів в інтервал [0, 1], тобто Т: →[0, 1]. Це відображення називатимемо відображенням істинності нечітких висловів. В цьому випадку значення істинності деякого нечіткого вислову ∊ позначатимемо через Т( ). Так, якщо позначити нечіткий вислів (1) з прикладу 6.1 через , то його істинність формально може бути записана як Т( ), а кількісно дорівнювати, наприклад, 0.7, тобто Т( ) = 0.7.

Нечіткі предикати

Визначення 7.2. Нечіткий предикат P(<x₁, x₂, …, x_k>) або, більш строго, k-місний нечіткий предикат, формально визначається як деяке відображення з декартового твору універсумів Х₁, Х₂,..., Х_k в деяку цілком впорядковану множину значень істинності, зокрема, в інтервал [0,1], тобто Р: Х₁×Х₂×...×Х_k→[0, 1]. По аналогії із звичайними предикатами, змінні x₁, x₂, …, x_k називаються предметними змінними нечіткого предикату P(<x₁, x₂, …, x_k>), а декартовий твір універсумів Х₁×Х₂×...×Х_k – його предметною областю.

Взаємозв'язок між нечіткими висловами і нечіткими предикатами встановлюється за допомогою процесу так званого означування нечіткого предикату P(<x₁, x₂, …, x_k>), під яким розуміється підстановка замість предикативних змінних x₁, x₂, …, x_k конкретних значень з відповідних універсумів: a_1∊Х₁, a_2∊Х₂,..., a_k∊Х_k. В цьому випадку нечіткий предикат P(<x₁, x₂, …, x_k>) перетворюється на деякий нечіткий вислів , який приймає конкретне значення істинності, рівне числу з інтервалу [0, 1].

Нечітке узагальнення логіки предикатів першого порядку, так само як і відповідні їй нечіткі числення, не знайшли широкого застосування при вирішенні прикладних завдань. Найбільш конструктивним напрямом в нечіткій логіці виявилося нечітке узагальнення правил продукцій, що використовують нечіткі вислови у формі означування лінгвістичних змінних. В цьому випадку нечіткі вислови можуть комбінуватися за допомогою нечітких логічних операцій або зв'язок, які і розглядаються нижче.

Основні логічні операції з нечіткими висловами

Нехай – деяка множина елементарних нечітких висловів, а Т: →[0, 1] – відображення істинності висловів.

Логічне заперечення нечітких висловів

^{Визначення 7.3. Запереченням нечіткого вислову (записується як: і читається} – "не ", "невірно, що ") називається унарна логічна операція, результат якої є нечітким висловом, істинність якого за визначенням приймає значення:

^{T( ) = l – Т( ). (7.1)}

Очевидно, що прийнятий в математичній логіці спосіб визначати логічні операції за допомогою таблиць істинності не може бути використаний в нечіткій логіці. Причина цього полягає в континуальної потужності множини істиннісних значень [0, 1]. Саме тому центральну роль у визначенні логічних операцій в нечіткій логіці набуває відображення істинності Т, яке має допоміжне значення в класичній математичній логіці.

Прикладом застосування операції логічного заперечення до нечіткого вислову "О. Бендер має досить високий зріст" буде вислів "Невірно, що О. Бендер має досить високий зріст", ступінь істинності якого з урахуванням раніше визначеного значення для Т( ) дорівнює 0.3. Запереченням вислову "Завтра буде похмура погода" буде вислів "Завтра буде не похмура погода", ступінь істинності якого, якщо прийняти Т( ) = 0.2, приймає значення 0.8.

Логічна кон'юнкція нечітких висловів

Визначення 7.4. Кон'юнкцією нечітких висловів і (записується як: ∧ і читається – " і ") називається бінарна логічна операція, результат якої є нечітким висловом, істинність якого визначається за формулою:

Логічну кон'юнкцію нечітких висловів також називають нечітким логічним "І", нечіткою кон'юнкцією або min-кон’юнкцією і іноді записують також у формі AND . При цьому історично прийнято вважати формулу (7.2) основною для визначення ступеню істинності її результату.

По аналогії з операціями над нечіткими множинами, що розглядалися в розділі 4, для визначення ступеню істинності кон'юнкції нечітких висловів можуть бути використані наступні альтернативні формули.

Алгебраїчний твір ступенів істинності нечітких висловів:

Граничний твір ступенів істинності нечітких висловів:

Приклад 7.2. Розглянемо складений нечіткий вислів, що складається з двох елементарних: "О. Бендер має досить високий зріст і завтра буде похмура погода" і припустимо, що істинність першого з них рівна Т( )= 0.7, а істинність другого – T( ) = 0.2. Тоді істинність логічної кон'юнкції цих нечітких висловів, обчислена за основною формулою (7.2), дорівнює: Т( ∧ ) = 0.2. Значення істинності цієї ж кон'юнкції, розраховані по решті формул, дорівнюють: 0.14 і 0.