Материал: КонспектНМ14_2018

Логічна диз'юнкція нечітких висловів

Визначення 7.5. Диз'юнкцією нечітких висловів і (записується як: ∨ і читається – " або ") називається бінарна логічна операція, результат якої є нечітким висловом, істинність якого за визначенням приймає значення:

Логічну диз'юнкцію нечітких висловів також називають нечітким не виключним логічним "АБО", нечіткою диз'юнкцією або max-диз’юнкцією і іноді записують також у формі OR . При цьому історично прийнято вважати формулу (7.5) основною для визначення ступеню істинності її результату.

По аналогії з операціями над нечіткими множинами, що розглянуті в розділі 3, для визначення ступеню істинності диз'юнкції нечітких висловів можуть бути використані наступні альтернативні формули.

Алгебраїчна сума ступенів істинності нечітких висловів:

Гранична сума ступенів істинності нечітких висловів:

Приклад 7.3. Як і вище, розглянемо складений нечіткий вислів: "О. Бендер має досить високий зріст або завтра буде похмура погода" і припустимо, що істинність елементарних нечітких висловів, які входять до нього, як і раніше дорівнює Т( ) = 0.7 і Т( ) = 0.2.

Тоді істинність логічної диз'юнкції цих нечітких висловів, що обчислена за основною формулою (7.5), дорівнює: Т( ∨ )=0.7. Значення істинності цієї ж диз'юнкції, розраховані за рештою формул, дорівнює: 0.76 і 0.9.

Нечітка імплікація

Визначення 7.3. Нечіткою імплікацією або просто – імплікацією нечітких висловів і (записується як: ⊃ і читається – "із слідує ", "ЯКЩО , ТО ") називається бінарна логічна операція, результат якої є нечітким висловом, істинність якого може приймати значення, що визначається за одною з наступних формул.

• Класична нечітка імплікація, що запропонована Л. Заде:

Цю форму нечіткої імплікації називають також нечіткою імплікацією Заде.

• Класична нечітка імплікація для випадку Т( )≥Т( ):

Цю форму нечіткої імплікації іноді називають нечіткою імплікацією Геделя.

• Нечітка імплікація, що запропонована Е. Мамдані:

Цю форму нечіткої імплікації також називають нечіткою імплікацією Мамдані або нечіткою імплікацією мінімуму кореляції.

• Нечітка імплікація, що запропонована Я. Лукасевичем:

Цю форму нечіткої імплікації також називають нечіткою імплікацією Лукасевича.

• Нечітка імплікація, що запропонована Дж. Гогеном:

Цю форму нечіткої імплікації також називають нечіткою імплікацією Гогена.

• Нечітка імплікація по формулі граничної суми:

Т( ⊃ )= min{1, Т( )+Т( )} (7.13)

• Нечітка імплікація по формулі твору:

Т( ⊃ ) = Т( )+Т( ). (7.14)

• Нечітка імплікація, запропонована Н. Ваді:

Т( ⊃ )= max{Т( )∙Т( ), 1– Т( )}. (7.15)

Нечітка імплікація грає важливу роль в процесі нечітких логічних міркувань. Так само, як і в математичній логіці перший її операнд (нечіткий вислів) називається посилкою або антецедентом, а другий – висновком або консеквентом.

Хоча класична нечітка імплікація знаходить найбільше застосування при вирішенні прикладних завдань і вона залишається справедливої у разі звичайних висловів класичної логіки, решта способів обчислення нечіткої імплікації в окремих ситуаціях опиняється ефективнішими з обчислювальної точки зору.

Приклад 7.4. Розглянемо складений нечіткий вислів у формі нечіткої імплікації: "Якщо О. Бендер має досить високий зріст, то завтра буде похмура погода" при цьому істинність елементарних нечітких висловів, які входять до нього, як і раніше дорівнює Т( ) = 0.7 і Т( ) = 0.2.

Тоді істинність цієї нечіткої імплікації, що обчислена за основною формулою (7.8), дорівнює: Т( ⊃ ) = 0.3, за формулою (7.12) – Т( ⊃ ) = 0.29, за формулою (7.13) – Т( ⊃ ) = 0.9, за формулою (7.14) – Т( ⊃ ) = 0.14, за формулою (7.15) – Т( ⊃ ) = 0.3..

Нечітка еквівалентність

Визначення 7.5. Еквівалентністю нечітких висловів і або просто нечіткою еквівалентністю (записується як: ≡ і читається – " еквівалентно ") називається бінарна логічна операція, результат якої є нечітким висловом, істинність якого визначається за формулою:

Прикладом логічної еквівалентності може служити складений нечіткий вислів: "О. Бендер має досить високий зріст еквівалентно тому, що завтра буде похмура погода", істинність якого приймає значення 0.3.

Так само, як в класичній математичній логіці, в нечіткій логіці за допомогою розглянутих логічних зв'язок можуть бути утворені достатньо складні нечіткі вислови. При цьому для явної вказівки порядку їх слідування використовуються круглі дужки, а іноді і пріоритет відповідних нечітких логічних операцій.

Слід зазначити, що обов'язковою умовою коректності визначення істинності складених нечітких висловів є вимога одночасної підстановки замість однакових букв одних і тих же нечітких висловів. Окрім розглянутих логічних операцій можуть бути визначені і інші бінарні логічні операції з нечіткими висловами. Детальніше познайомитися з ними можна в спеціальній літературі.

Правила нечітких продукцій

Продукційні системи були розроблені в рамках досліджень в рамках методів штучного інтелекту і знайшли широке застосування для представлення знань і виведення висновків в експертних системах, заснованих на правилах. Оскільки нечітке виведення реалізується на основі нечітких продукційних правил, розгляд базового формалізму нечітких продукційних моделей набуває самостійного значення. При цьому нечіткі правила продукций не тільки багато в чому близькі до логічних моделей, але і, що найбільш важливе, дозволяють адекватно представити практичні знання експертів в тій або іншій проблемній області.

Визначення 7.6. У загальному випадку під правилом нечіткої продукції або просто – нечіткою продукцією розуміється вираз наступного вигляду:

( i ): Q; P; ⇒ ; S, F, N, (7.17)

де ( i ) – ім'я нечіткої продукції; Q– сфера застосування нечіткої продукції; Р – умова застосовності ядра нечіткої продукції; . – ядро нечіткої продукції, в якому, – умова ядра (або антецедент); – висновок ядра (або консеквент); "⇒" – знак логічної секвенції (або слідування); S – метод або спосіб визначення кількісного значення ступеню істинності висновку ядра; F – коефіцієнт визначеності або упевненості нечіткої продукції; N – постумови продукції.

За аналогією із звичайним правилом продукції, в якості ім'я (i) нечіткої продукції може виступати та або інша сукупність букв або символів, що дозволяє однозначним чином ідентифікувати нечітку продукцію в системі нечіткого виведення або базі нечітких правил. В якості ім'я нечіткої продукції може використовуватися її номер в системі.

Сфера застосування нечіткої продукції Q, умова застосовності ядра нечіткої продукції Р і постумова нечіткої продукції N визначаються аналогічно звичайній не нечіткій продукції.

Аналогічно звичайним правилам продукцій ядро ⇒ також є центральним компонентом нечіткої продукції. Ядро продукції записується в більш звичній формі: "ЯКЩО , ТО " або в більш поширеному вигляді: "IF , THEN ", де і – деякі вирази нечіткої логіки, які найчастіше представляються у формі нечітких висловів. При цьому секвенція інтерпретується в звичайному логічному сенсі як знак логічного слідування висновку з умови . В якості виразів і можуть використовуватися складені логічні нечіткі вислови, тобто елементарні нечіткі вислови, сполучені нечіткими логічні зв'язками, такими як нечітке заперечення, нечітка кон'юнкція і нечітка диз'юнкція.

S – метод або спосіб визначення кількісного значення ступеню істинності висновку на основі відомого значення ступеню істинності умови . Цей спосіб в загальному випадку визначає так звану схему або алгоритм нечіткого виводу в продукційних нечітких системах і називається також методом композиції або методом активації згідно Стандарту IEC 1131-7. В даний час для цієї мети запропоновано декілька способів, основні з яких розглядаються нижче в цьому розділі.

F – коефіцієнт визначеності або упевненості виражає кількісну оцінку ступеню істинності або відносну вагу нечіткої продукції. Коефіцієнт упевненості приймає своє значення з інтервалу [0, 1] і часто називається ваговим коефіцієнтом нечіткого правила продукції.

Продукційна нечітка система або система нечітких правил продукцій є деякою узгодженою множиною окремих нечітких продукцій або правил нечітких продукцій у формі "ЯКЩО , ТО " (або у вигляді: "IF , THEN ", як визначено в Стандарті IEC 1131-7). Далі обидві ці форми запису використовуватимуться як еквівалентні залежно від зручності в тому або іншому контексті.

Основна проблема наближених міркувань з використанням нечітких правил продукцій полягає в тому, щоб на основі деяких нечітких висловів з відомим ступенем істинності, які є умовами нечітких правил продукцій, оцінити ступінь істинності інших нечітких висловів, які є висновками відповідних нечітких правил продукцій.

Щоб мати можливість вирішити цю проблему, необхідно отримати відповідь на таке запитання: Чому повинна дорівнювати ступінь істинності висновку окремого нечіткого правила продукції, якщо відомий ступінь істинності умови цього правила? Таким чином, в системах нечітких продукцій центральне місце займає спосіб або метод визначення істинності висновків в нечіткому правилі продукції.

Неважко помітити, що взаємозв'язок між умовою і висновком в нечіткому правилі продукції в загальному випадку є деяким бінарним нечітким відношенням на декартовому творі універсумів відповідних нечітких висловів. Цей підхід і використовуватиметься надалі для визначення різних схем або методів нечіткого виведення на основі продукційних нечітких систем.

У загальному випадку для формального визначення різних методів нечіткого виведення стосовно нечіткого правила продукції розглянемо дві нечіткі множини і , заданих відповідно на універсумах X і Y. При цьому нечітка множина інтерпретується як умова деякого нечіткого правила продукції, а нечітка множина – як висновок цього ж правила.

Основна ідея полягає в тому, що нечітку множину можна розглядати як унарне відношення на універсумі X, а нечітку множину можна розглядати як унарне відношення на універсумі Y. В цьому випадку перше відношення визначається функцією приналежності , а друге відношення – функцією приналежності .

Тепер припустимо, що деяким чином визначене бінарне нечітке відношення на декартовому творі універсумів: , де і . Якщо додатково відома функція приналежності першої множини, то функція приналежності другої множини може бути визначена в результаті нечіткої композиції відповідних нечітких відношень з використанням, наприклад, формули (5.17) для максимінної нечіткої композиції.

Окрім максимінної нечіткої композиції, запропоновані і інші способи для визначення результату композиції нечітких відношень. Таким чином, для визначення функції приналежності нечіткої множини можна використовувати наступні методи, що засновані на різних розрахункових формулах для визначення функції приналежності результату (наведені ті, що найчастіше застосовуються в системах нечіткого виведення).

Max-min-композиція або максимінна нечітка згортка:

Max-prod-композиция: