Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Угол между двумя плоскостями 1

и 2

определяется по формулам:

n 1 n

a a

2

b b c c

cos

2

1

1

2

1 2

,

a2

b2

c 2

a2 b2 c

2

n1

n2

1

1

1

2

2

2

a1,b1,c1 ,

a2 ,b2 ,c2 - нормальные векторы плоскостей.

где n1

n2

Необходимые и достаточные условия параллельности двух плоскостей

a1

b1

с1

a2

b2

с2

Найдем произвольную точку на плоскости 1. Пусть x 0 и

y 0 , тогда

z 5/ 3. Искомое

расстояние равно

расстоянию

от точки

М 0,0, 5/ 3 до

плоскости 2 : s

6 0 2 0 3 5/ 3 16

21

3.

62 22 3 2

49

Каждая

плоскость

разбивает пространство

на

два

множества,

называемые

полупространствами.

Если

плоскость

задана

уравнением

ax by cz d 0 , то точки

одного

полупространства

являются решением

неравенства

ax by cz d 0 , а точки другого полупространства решением

неравенства ax by cz d 0 .

81

Прямая

линия l

в

пространстве

задается

двумя

пересекающимися

плоскостями

1:

a1x b1y c1z d1 0 и

2 : a2 x b2 y c2 z d2

0 . Тогда

общее уравнение прямой в пространстве имеет вид

a x b y c z d 0

1

1

1

1

a2 x b2 y c2 z d 2 0

Уравнение прямой линии l , параллельной

вектору

q m, n, p

и

проходящей через точку

M

0

x

0

, y

0

, z

0

, имеет вид

x x0

y y0

z z0

и

m

n

p

называется

параметрическим уравнением

прямой

в

пространстве, t

‒ параметром.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 x1, y1, z1

и M

2

x

2

, y

2

, z

2

записывается в виде

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

линию, получим y 3 5x и z 6 3x . Отсюда

y 3

z 6

x .

5

3

Каноническое уравнение прямой имеет вид

x

y 3

z 6

.

1

5

3

y z 3 0

2x y 3 0

2z 9 0

и

y 9 0

.

y

x

M1 0,3,6 и M 2 2, 7,0 .

Их решения и определяют координаты двух точек

Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид

x 0

y 3

z 6

или

x

y 3

z 6

.

2 0

7 3

0 6

1

5

3

Направляющий вектор прямой q 1, 5, 3 .

Угол

между

двумя

прямыми линиями

l1

и l2 c направляющими

векторами q 1

m1, n1, p1 и q 2

m2 , n2 , p2 определяется по формуле

cos

q 1 q2

m1 m2 n1 n2 p1 p2

m2

n2

p 2

m2 n2

p 2

q

q

2

1

1

1

2

2

2

1

Необходимые и достаточные условия параллельности двух прямых

m1

n1

p1

m2

n2

p2

Пример 8. Найдем угол между прямой линией l :

x 1

y

z 5

и

1

0

1

0

прямой l2 , проходящей через начало координат и точку M 5, 3,1 .

Запишем уравнение прямой l2 , проходящей через две точки ‒ начало

координат O 0,0,0 и точку M 5, 3,1 :

x

y

z

.

3

5

1

Направляющие векторы прямых линий l1 и l2 равны q 1

0,1,0 и

q 2 5, 3,1

. Следовательно

cos

0 5

1

( 3) 0

1

3

1

25 9 1

35

Таким образом, острый угол между двумя прямыми равен arccos

3

.

35

Угол между

прямой l :

x x0

y y0

z z0

и

плоскостью

m

n

p

:

ax by cz d 0 определяется формулой

sin

q

n

a m b n c

p

,

m2 n2 p2 a2

b2 c2

q

n

a,b,c

m, n, p

где

q

- направляющий вектор прямой l ,

n

- нормальный

a

b

c

n q или

m

n

p

Пример 9. Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую l1 :

x 1

y 1

z 3

и

точку

M 2,1, 1 . Найдем

угол между

полученной

2

1

2

плоскостью и прямой l2 :

x

y 1

z

.

Точка M 2,1, 1

2

2

2

. Уравнение плоскости

лежит на искомой плоскости

имеет

вид

a(x 2) b( y 1) c(z 1) 0 . Найдем

координаты

нормального

вектора плоскости

n a,b,c . Точка А 1, 1,3 лежит на прямой l1 , а значит и

на плоскости .

Подставляя точку A в уравнение плоскости

, получим

направляющий

вектор

q 1 2,1,2

перпендикулярен

вектору

n .

0 , т.е. 2a b 2c 0 . Решим алгебраическую систему

Следовательно,

q 1 n

линейных уравнений

3a 2b 4c 0

.

b

2c 0

2a

Получим

a 8c и

b 14c .

Пусть

c 1, тогда

a 8 ,

b 14

и

8,14,1 .

n a,b,c

Искомое

уравнение плоскости

имеет

вид

84

8x 14 y z 3 0 .

Найдем

синус

угла

между плоскостью :

8x 14 y z 3 0 с нормальным вектором

n a,b,c 8,14,1 и прямой l2

x

y 1

z

m

2, 2,2

:

с направляющим вектором q

, n

, p

2

2

2

2

2 2 2

8 2 14 2 1 2

sin

a m2 b n2 c p2

7

2

2

2

2

b

2

c

2

4 4 4

64 196 1

87

m2

n2

p2 a

Искомый угол равен arcsin

7

.

87

Уравнение прямой линии

l , проходящей через точку M

0

x0

, x0

,...,x0

и

параллельной вектору Q m1, m2 ,...,mn , имеет вид:

1

2

n

x1 x10

x2 x20

...

xn xn0

m1

m2

mn

и называется каноническим уравнением прямой в n - мерном точечном

пространстве.

Вектор Q m1, m2 ,...,mn

называется направляющим

вектором прямой l . Соответствующая система уравнений

x

m t x0

1

1

1

x

m t x0

2

2

2

.........

m t x0

x

n

n

n