Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

x4 5 x3 5 x2 5 x 6 0

a 5, b 5, c 5, d 6

t3 5t

2 t 5 0 t

5

1

2

5

5

25

2

5

25

x

x

5

5

x

5

5

x

6

2

2

4

2

4

x2

5

x

5

5 x 7 2

x2

5

5

5 x 7

x

2

2

2

2

2

2

Разложение многочленов на множители

Если многочлен

F x может быть

представлен в виде

произведения

многочленов f1 x , f2

x ,..., fs x , то

эти многочлены

называются

множителями (делителями) многочлена F x . Каждый многочлен степени n

относительно x может быть единственным способом представлен в виде

произведения постоянной и n линейных множителей x xi , где xi

i

‒

1,n

корни многочлена, а именно

F x a0xn a1xn 1

n

a0 0 ,

... an 1x an a0 x xi ,

i 1

x xi .

где корню xi

кратности mi

соответствует mi

множителей

Деление многочленов

Частное от деления многочлена F x степени n

на многочлен G x

степени m (в случае, когда n m ) может быть представлено в виде

F x

a xn a xn 1

... a

x a

0

1

n 1

n

G x

b xm b xm 1

... b

x b

0

1

m 1

m

c

xn m c xn m 1 ... c

x c

Q x

,

0

1

n m 1

n m

G x

Примечания.

k

и Q x определяются однозначно.

1.

Коэффициенты ck

0, n m

2.

Остаток Q x отсутствует

в том и только в том случае, когда G x

является делителем многочлена F x .

3.

Если многочлен

V x

является общим делителем (множителем)

многочленов F x

и G x ,

то его корни являются общими корнями этих

многочленов.

F x

4.

Отношение

,

как и числовую дробь можно сократить на любой

G x

общий множитель числителя и знаменателя.

5.

Согласно теореме Безу

F x x c Q x F c .

Многочлены

F x a xn

a xn 1 ... a

x a

0

1

n 1

n

G x b xm

b xm 1 ... b

x b

0

1

m 1

m

R F , G

1 1

1 0

0

1

1

1

1 0 0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1 0

0

1

1

1

1

0 0 1

1 1

1

0

0

1

1

1

1

1 1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

2

0

2

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

Вычислим результант данных многочленов. У многочленов нет общих

корней, так как R F , G 0 .

R F , G

1

4

4 0

0

1

1

4 4 0

0

1

1

4

4

0

1

0

1

1

4 4 0

0

1

1 4

4 0

0

1

1

4

4

0

0

1

1 4

4

0

0

1 1 4

4

0

1

3 8

0

1

1

1

1

0

0

0

2

3 5

0

0

0

0

1

3

8

0

1

1

1

1

0

0

0

2 3 5

0

0

0

2

3

5

0

0

1

1

1

1

0

0

0 2 3 5

1

4

4

8

0

28

1

0

4

12

4

1

3

8

180 0

0

1

3 8

3

0

3

0

2

3 5

Элементарные дроби

Отношение

Q x

многочлена Q x степени k и

многочлена G x степени

G x

Q x

mi

dij

G x

x xi j

i j 1

Пример 12.

F x

x3 x2 4x 4

G x

x3 x2

x 1

Получим представление рациональной функции в виде суммы

многочлена и конечного числа элементарных дробей

F x

x3 x2 x 1 2x2 3x 5

1

2x2 3x 5

G x

x3 x2 x 1

x3 x2 x 1

Ранее,

в

одном

из

примеров,

было

показано,

что

у многочленов

F x x3 x2 4x 4

и

G x x3 x2 x 1

нет общих

корней, так

как

R F , G 0 .

Очевидно,

что

и

у

многочленов

Q x 2x2 3x 5

и

G x x3 x2 x 1 также не будет общих корней.

G x x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1

G x x i x i x 1

Q x

2x2 3x 5

d

d

2

d

3

1

G x

x3 x2 x 1

x i

x i

x

1

2x2 3x 5 d

x i x 1

d

2

x i

x 1 d

3

x i x i

1

d1

d2 d3

2

d

1 i

d

2

1 i 3

1

d i d

2

i d

3

5

1

d1 d2 d3 2

d1 d2 d1 d2 i 3 2d3 10

d1

d2 i d3 5

d1 d2 3

d1

d2 1.5, d3

5

d1 d2 i

0

F x

x3 x2 4x 4

Q x

1

G x

x3 x2 x 1

G x

1

1.5

1.5

5

1

3x

5

x2 1

x i

x i

x 1

x 1