Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

1.

z1 15 8i , z2 4 3i

2.

z1 3 7i , z2 6 8i

3.

z1 5 12i , z2 7 i

4.

z1 3 2i , z2 5 10i

Задача 2. Найти комплексные числа а)

z z

, б) z

/ z

, в) z n и г) m

,

2

2

z

2

1

1

1

используя тригонометрическую форму комплексных чисел z1

и z2

i 50

6

1.

z

3

2.

cos

i sin

1

i 100

z 1

3

3

6

i

24

3

12

3.

z

i sin

i cos

4.

z 1

2

3

3

3

2

Задача 4. Решить уравнения

1.

x2 25 0

2.

x2 6x 18 0

3.

x3 2x2 x 2 0

4.

x3 2x2 x 2 0

5.

x3 3x2 7x 5 0

6.

x3 x2 3x 5 0

7.

x4 3x2 4 0

8.

x4 10x2 169 0

9.

x4 3x3 3x2 3x 2 0

10.

x4 2x3

6x2

2x 3 0

76

F x x3

2x2 x 2

F x x3

2x2 x 2

1.

2.

G x x3 3x2 7x 5

G x x4 2x3 6x2 2x 5

F x x3

3x2 7x 5

F x x3

2x2 x 2

3.

4.

G x x3 2x2 x 2

G x x4 2x3 6x2 2x 5

F x x3

2x2 x 2

F x x3

2x2 x 2

5.

6.

G x x3 x2 3x 5

G x x4 3x3 3x2 3x 2

F x x3

x2 3x 5

F x x3

2x2 x 2

7.

8.

G x x3 2x2 x 2

G x x4 3x3 3x2 3x 2

F x x3

2x2 x 2

F x x4

3x3 3x2 3x 2

9.

10.

G x x3 2x2 x 2

G x x4 2x3 6x2 2x 5

1.

f x

x2 25

2.

f x

x2 6x 18

x2 6x 18

x2 25

3.

f x

x3 2x2 x 2

4.

f x

x3 2x2 x 2

x3 2x2 x 2

x3 2x2 x 2

5.

f x

x2 25

6.

f x

x3 x2 3x 5

x3 3x2 7x 5

x2 6x 18

7.

f x

x3 4x

8.

f x

x4

10x2 169

x4 3x2 4

x3 9x

9.

f x

x2 16

10.

f x

x4

2x3 6x2 2x 5

x4 3x3 3x2 3x 2

x2 36

n a,b называется нормальным вектором прямой.

x0 , y0 и

Уравнение прямой l

на плоскости, проходящей через точку M 0

a x x0 b y y0 0 .

перпендикулярной вектору

n a,b , имеет вид

Уравнение прямой l

на плоскости, проходящей через точку M 0 x0 , y0 и

m, n , имеет вид:

x x0

y y0

параллельной вектору q

.

m

n

Уравнение называется каноническим уравнением прямой, вектор

q m, n

‒ направляющим вектором прямой. Соответствующая система уравнений

x mt x0

y nt y0

называется параметрическим

уравнением прямой

на плоскости,

t

‒ параметром.

проходящей через две заданные точки M1 x1, y1 и

Уравнение прямой,

M

2

x

2

, y

2

, записывается в виде

x x1

y y1

.

x2 x1

y2 y1

Уравнение прямой

с угловым коэффициентом

k tg имеет

вид

наклона прямой с положительным направлением оси Ox .

Уравнение прямой, проходящей через точку

M 0 x0 , y0

в заданном

направлении, имеет вид y y0 k x x0 . Если k

- произвольное число,

уравнение определяет пучок прямых линий, проходящих через

точку M 0 ,

кроме прямой параллельной оси Oy .

k tg600

Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

3 и

проходящей через точку M 0 1, 2

имеет вид y 2

х 1 .

3

3

3

Отсюда

Уравнение прямой в отрезках имеет вид

x

y

1, где

a

и

b

0

a0

b0

0

в полтора раза больше, чем от положительной полуоси Oy .

Уравнение прямой в отрезках имеет вид

x

y

1, так как

a

1,5b .

0

1,5b0

b0

0

Точка A 1, 2 принадлежит прямой. Отсюда

1

2

1,

b

4

.

Тогда

1,5b0

b0

0

3

общее уравнения прямой имеет вид 2x 3y 4 0 .

Точка пересечения двух непараллельных прямых l1 и l2

на плоскости

Угол между двумя прямыми l1

и l2

определяется по формулам

n 1 n

2

a a

2

b b

cos

1

1

2

a2 b2

a2

b2

n1

n2

1

1

2

2

cos

q 1 q2

m1 m2 n1 n2

m2

n2

m2

n2

q1

q2

1

1

2

2

tg

k2 k1

1 k k

2

1

Здесь

n1

a1,b1 , n2

a2 ,b2

-

нормальные

векторы,

q 1 m1,n1

,

m2 ,n2

q 2

-

направляющие векторы

и

k1, k2 -

угловые

коэффициенты

прямых линий на плоскости.

Необходимые и достаточные условия параллельности двух прямых

a1

b1

;

m1

n1

;

k k

2

.

a2 b2

m2

n2

1

79

a1a2 b1b2 0 ;

m1m2 n1n2 0 ; k1k2 1 .

Расстояние от точки M 0 x0 , y0

до прямой линии

ax by c 0 на

плоскости определяется по формуле

s

ax0 by0 c

a2 b2

Пример 3. Найдем расстояние от точки M0 x0, y0 ,

делящей отрезок

между точками A 2, 2 и B 3, 2 в отношении 3: 2 ,

до прямой линии l :

3x 4 y 5 0.

Найдем координаты точки

M

:

x

2 (3/ 2)3 1

,

y

2 (3/ 2)2

2 ,

0

0

0

1 3/ 2

1 3/ 2

т.е. M0 1, 2 .

Расстояние от

точки

M0 1, 2

до данной

прямой

линии l :

3x 4 y 5 0

равно s

3 1 4 2 5

2 .

32 4 2

Каждая

прямая

линия

l

разбивает

плоскость

на

два

множества,

Уравнение плоскости , перпендикулярной вектору

a,b,c и

n

проходящей

через

точку

M 0 x0 , y0 , z0 ,

имеет

вид

a x x0 b y y0 c z z0 0 . Уравнение

ax by cz d 0

называется

a,b,c называется нормальным

общим уравнением плоскости.

Вектор n

вектором плоскости.

Пример 4. Даны две точки

A 3,0,1

и

B 2,2, 3 . Составим уравнение

плоскости , проходящей через точку A перпендикулярно вектору AB .

Нормальный

вектор

искомой

плоскости

3 1 5, 2, 4 .

n

AB 2 3, 2 0,

Тогда

уравнение

плоскости

,

A 3,0,1 ,

проходящей

через

точку

перпендикулярно вектору n имеет

вид