Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

2. Теорема позволяет при определении закона движения центр масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неиз­ вестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.

§ 108. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС

Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие важные следствия.

1. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю;

5 F S - 0 .

Тогда из уравнения (16) следует, что ас= 0 или vc=const. Следовательно, если сумма всех внешних сил, действующих на

систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с по­ стоянной по модулю и направлению скоростью, т .е . равномерной прямолинейно. В частности, если вначале центр масс был в покое, то он и останется в покое. Действие внутренних сил, как мы видим, движение центра масс системы изменить не может.

2. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю, но эти силы таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось х) равна нулю:

2 *1, - о .

Тогда первое из уравнений (16') дает

хс = 0 или хс «= vCx= const.

Следовательно, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частности, есЛи в начальный момент t»c*=0, то и в любой последующий момент времени vCx—0, т. е. центр масс системы в этом случае вдоль оси х перемещаться не будет (хс—const).

Все эти результаты выражакд собой закон сохранениядвижения центра масс системы. Рассмотрим некоторые примеры, иллюстри­ рующие его приложения.

Д в и ж е н и е ц е н т р а м а с с С о л н е ч н о й с и с т е м ы . Так как притяжением звезд можно практически пренебречь, то можно считать, что на Солнечную систему никакие внешние силы не действуют. Следовательно, в первом приближении ее центр масс движется по отношению к звездам равно­ мерно и прямолинейно.

Д е й с т в и е п а р ы с и л в а т е л о (см., например, рис. 32). Если на свободное твердое тело начнет действовать пара сил ~F, F ', то геометрическая

сумма этих внешних сил будет равна нулю (/H-F'=0). Следовательно, центр масс С тела, если он вначале был неподвижен, должен остаться неподвижным и при действии пары. Таким образом, где бы к свободному твердому телу ни была при­ ложена пара сил, тело начнет вращаться вокруг своего центра масс (но мгно­ венная ось. вращения в общем случае не будет направлена-перпендикулярно плоскости действия пары, как можно предположить).

276

Д в и ж е н и е по г о р и з о н т а л ь н о й п л о с к о с т и . При отсутствии трения человек с помощью своих мускульных усилий (силы внутрен­ ние) не мог бы двигаться вдоль горизонтальной плоскости, так как в этом случае сумма проекций на любую горизонтальную ось Ох всех приложенных к человеку внешних сил (сила тяжести и реакция плоскости) будет равна нулю и центр масс человека вдоль плоскости перемещаться не будет (дгс= const), ’

Если, например, человек вынесет правую ногу вперед, то левая его нога скользнет назад, а центр масс останется на месте. При наличии же трения сколь­ жению левой ноги назад будет препятствовать сила трения, которая в этом случае будет направлена вперед. Эта сила и будет той внешней силой, которая позволяет человеку перемещаться в сторону ее действия (в данном случае вперед).

Аналогично происходит движение тепловоза или автомобиля. Сила давления газа в двигателе является силой внутренней и сама по себе не может переместить центр масс системы. Движение происходит потому, что двигатель передает соответствующим колесам, называемым ведущими, вращающий момент. При этом точка касания В ведущего колеса (рис. 284) стремится скользить влево. Тогда на колесо будет действовать сила трения, направленная вправо. Эта внешняя сила и позволит центру тяжести тепловоза или автомобиля двигаться вправо. Когда этой силы нет или когда она недостаточна для преодоления сопротивления, испытываемого ведомыми колесами*, движения вправо не будет; ведущие колеса будут при этом вращаться на месте (буксовать).

Т о р м о ж е н и е . Для торможения к барабану, жестко связанному с катящимся колесом, прижимают тормозную колодку. Возникающая при этом сила трения колодки о барабан будет силой внутренней и сама по себе не изменит движение центра масс, т. е. не затормозит поезд или автомобиль. Однако трение

силы могут лишь тогда, когда они вызывают такое взаимодействие объекта с внеш­ ней средой, при котором на объект начинают действовать внешние силы (в при­ мерах это силы трения). Другой возможностью является реактивный эффект (см. § 112, 114). Никакое устройство, не обеспечивающее появление таких внеш­ них сил или не создающее реактивного эффекта, привести в движение цекгр месс

объекта за счет действия одних только внутренних сил не может. В таких пред­ лагавшихся устройствах, как «машина Дина» или «инерцоид», движение объекта тоже происходит за счет его взаимодействия с внешней средой, но менее явио вы­ раженного, что давало повод необоснованно отрицать наличие такого взаимо­ действия.

f 109. РЕШ ЕНИЕ ЗАДАЧ

Пользуясь теоремой о движении центра масс, можно, зная внеш­ ние силы, найти закон движений центра масс, и, наоборот, зная движение центра масс, определить главный вектор действующих

*На ведомое колесо действует не вращающий момент, а сила (J, приложенная

коси (рис. 284). Под ее действием все колесо, а с ним и точка касания А колеса о грунт стремятся сдвинуться вперед. При этом на колесо будет действовать сила трения, направленная назад. Эта внешняя сила и тормозит двизкеняе:.

277

на систему внешних сил. Первой задачей мы занимались в динамике точки. Примеры решения второй задачи рассмотрим ниже.

Теорема позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так, чтобы ряд наперед неизвестных сил сделать внутренними.

В случаях, когда имеет место закон сохранения движения цент­ ра масс, теорема позволяет по перемещению одной части системы найти перемещение другой ее части.

Мы доказали, что когда 2Рцх—0 и в начальный момент времени x>cx=Q, то при движении системы хс = const. Пусть для определенности система состоит из трех тел с массами mlt т 2, т 3 и начальными координатами их центров масс *i> **> хз- Если под действием внутренних (или внешних) сил тела совершат аб­ солютны? перемещения, проекции которых на ось Ох будут £х, £2, |3, то соответст­ вующие координаты станут равны X j+ li, х2+ ^ . *з+1зТогда по формулам (1) координата центра масс XQ всей системы в начальном и конечном положениях определяется равенствами:

МхСа= nttXi 4-т 2х,+ т,х, ;

Таким образом, когда имеет место закон сохранения движения центра масс вдоль оси Ох, то алгебраическая сумма произведений масс (или весов) тел системы на проекции абсолютных перемещений их центров масс должна быть равна нулю, если только в начальный момент времени оСх=0. При вычислении £i, 52. •••

следует всегда учитывать их знаки.

Задача 123. На носу и корме лодки весом р сидят на расстоянии / друг от друга два человека весом рд и рв каждый (рис. 285). Пренебрегая сопротив­ лением воды, определить, куда и насколько переместится лодка, если

чить из рассмотрения неизвестные нам силы трения подошв о дно лодки и мускульные усилия людей, будем рассматривать лодку и лю­ дей как одну систему (при этом наз­ ванные силы станут внутренними). Внешними силами, действующими на систему, будут вертикальные си­

лы р, рА, рв, ЛЛ Тогда 2/1* =0, и так как в начальный момент време­ ни vCx=0, то дгс=const. Следова­ тельно, абсолютные перемещения всех тел связаны зависимостью (17).

Изображая лодку и людей в на­ чальном и конечном положениях, мы видим, что перемещение лодки £л= * *• Далее, для первого чело-

* Во избежание ошибок в знаках рекомендуется, независимо от того, куда фактически происходит смещение, изображать лодку (систему) в смещенном поло­ жении так, чтобы координата х была положительной (рис. 285). Если после под­ счетов значение х получится отрицательным, то это будет означать, что при усло­ виях задачи смещение происходит в другую сторону.

278

V

века абсолютное перемещение Ъд=х+1-, абсолютное перемещение второго чело­ века равно ВВХ, а проекция этого перемещения на ось Ох будет \в~ — —*)■

Тогда по уравнению (17')

Р*+ Ра (* + 0 + Рв [— У —■*)]= 0. Отсюда находим, что перемещение лодки

х = (рв— ра)1/Р, где Р= Р+ Ра+ Рв-

Если рв>рл< то *>0, т. е. лодка смещается вправо; при рв<рл смещение лодки произойдет влево. Когда рв~Рл< лодка остается на месте.

Подчеркиваем еще раз: систему, движение которой надо рассмотреть при решений подобных задан, следует выбирать так, чтобы наперед неизвестные силы сделать внутренними.

Задача 124. Центр масс вала мотора смещен от оси вращения на величину АВ=Ь. Масса вала mlt а масса всех остальных частей мотора т ,. Определить, по какому закону будет двигаться мотор, поставленный на гладкую горизон­ тальную плоскость, когда вал вращается с постоянной угловой скоростью ш. Найти дополнительно, какое максимальное усилие будет испытывать болт D, если с его помощью неподвижно -закрепить мотор.

1. При незакрепленном моторе все действующие на него силы (pt=m,g,

p ,= m j и реакция плоскости) будут вертикальными, и здесь, как и в предыдущей задаче, будет иметь место закон сохранения движения центра масс вдоль оси Сх. Изображаем мотор в произвольном положении (рис. 286), считая начальным то положение, когда точки В и А лежат на одной вертикали (на оси Оу). Тогда в произвольном положении ЪА=х, 1д=д:+6 sin ф. Отсюда, учитывая, что <р=ш/, найдем по формуле (17)

mjX+mi(x-i-6 sin <oQ=0,

откуда

х=~~Ж sin<B*<где M=mi+m$.

Следовательно, мотор будет совершать гармонические колебания с круговой

частотой м.

2. Когда мотор закреплен, то по первому из уравнений (16') горизонталь­ ная реакция Rx болта будет

Rx—Mxc , где лгс = jg- (« 1*в + ■

В этом случае точка А неподвижна и хА=1 (/= const), a xe=/+frsln ю/. В ре­ зультате, дифференцируя выражение хс и умножая его на М (М здесь всюду — масса всей системы), находим

Rx= MXQ = irtixa = — либо»* sin at.

279

Сила давления на болт равна по модулю |/?х| и направлена в противопо­ ложную сторону; ее максимальное значение будет т^ЬиР. Во избежание ударов мотора по болтам при его работе, затяжка болтов Q должна быть такой, чтобы суммарная сила трения мотора о плоскость, на которой он установлен, т. е. IQ, была не меньше mjbco2.

Задача 125. Кривошип АВ длиной г и массой т г, вращающийся с постоян­ ной угловой скоростью ш, приводит в движение кулису и связанный с нею пор­ шень D, общая масса которых равна т а (рис. 287). На поршень при его движе­

нии действует постоянная сила Q. Пренебрегая трением о направляющие, найти

на него со стороны кулисы, рассмотрим движение всей системы. Тогда по пер­ вому из уравнений (16'), если обозначить горизонтальную реакцию оси А через Rx, будет

Сила давления на ось равна по модулю |/?ж| и направлена в противополож­

ную сторону. Давление будет максимальным, когда <р= 180°, и будет равно Q+

+ (0,5т!+

Глава X X III

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

S ПФ. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Количеством двизкения системы будем называть векторную вели­ чину Q, равную геометрической сумме (главному вектору) количеств

280