Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил. Уравнение (21) выражает т е о р е м у об и з м е н е н и и к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я с и с т е м ы в и н т е г р а л ь ­

но й форме: изменение количества двиокения системыза некото­ рый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за т о т же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будет:

Q«*-Qo;=2sU = Qu-Q»=isu. (2i')

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о дви­ жении центра масс. Так как Q=Mvc, то, подставляя это значение

в равенство (20) и учитывая, что di»c/d/=ac, получим Afac= 2FJ, т. е. уравнение (16).

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случа­ ях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением (16) обычно пользоваться удобнее. Для. непрерывной же среды (жидкость, газ) при решении задач обычно пользуются теоремой об изменении количества движения системы. Важные при­ ложения эта теорема имеет также в теории удара (см. гл. X X X I) и при изучении реактивного движения (см. § 1-14).

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например,, силы давления друг на друга частиц жидкости).

S 112. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия.

1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, рав­ на нулю:

2/1 = 0-

Тогда из уравнения (20) следует, что при этом Q=const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих На систему, равна нулю, то вектор количества двиокения системы будетпостоя­ нен по модулю и направлению.

2. Пусть внешние силы, действующие ыа систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, Оле) равна нулю:

2 Л * = 0.

Тогда из уравнений (20) следует, что при этом Q*=const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на

282

какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения си­ стемы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количествадвижения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить ко­ личество движения системы не могут. Рассмотрим некоторые при­ меры.

Я в л е н и е о т д а ч и и л и о т к а т а . Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить количество движения системы, равное до выстрела нулю. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направле­ нии. Это вызовет движение винтовки назад, т. е. так называемую отдачу. Анало­

некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды, как внутренние, не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при от­ брасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответст­ вующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рас­ сматриваемой системы остается равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

Р е а к т и в н о е д в и ж е н и е . В реактивном снаряде (ракете) газооб­ разные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из от­ верстия в хвостовой части ракеты (из сопла ракетного двигателя). Действующие при этом силы давления будут силами внутренними и не могут изменить коли­ чество движения системы ракета — продукты горения топлива. Но так как вы­ рывающиеся газы имеют известное количество движения, направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость, направленную вперед. Величина этой скорости будет определена в § 114.

Обращаем внимание на то, что винтовой двигатель (предыдущий пример) сообщает объекту, например самолету, движение за счет отбрасывания назад частиц той среды, в которой он движется. В безвоздушном пространстве такое движение невозможно. Реактивный же двигатель сообщает движение за счет от­ броса назад масс, вырабатываемых в самом двигателе (продукты горения). Дви­ жение это в равной мере возможно и в воздухе, и в безвоздушном пространстве.

При решении задач применение теоремы позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так, чтобы все (или часть) заранее неизвестных сил сделать внутренними.

Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению поступательной скорости одной части системы надо определить скорость другой части. В частности, этот закон широко используется в теории удара.

Задача 126. Пуля массой т , летящая горизонтально со скоростью и, по­ падает в установленный на тележке ящик с песком (рис. 289). С какой скоростью начнет двигаться тележка после удара, если масса тележки вместе с ящиком равна Ш

Р е ш е н и е . Будем рассматривать пулю и тележку как одну систему. Это позволит при решении задачи исключить силы, которые возникают при ударе лули о ящик. Сумма проекций приложенных к системе внешних сил на горизон­

тальную ось Ох равна нулю. Следовательно, Qx=const или Qix~Qox< гДе <?о—

283

количество движения системы до удара; Qt — после удара. Так как до удара тележка неподвижна, то Qex=mu.

После удара тележка и пуля движутся с общей скоростью, которую обозначим через о. Тогда Qix=(m+ М)и.

Приравнивая правые части выражений Qix и Qox, найдем

ти v~ (т-\- М)'

Задача 127. Определить скорость свободного отката орудия, если вес отка­ тымающихся частей равен Я, вес снаряда р, а скорость снаряда по отношению

ж каналу ствола равна 'в момент вылета и.

л

Р е ш е н и е . Для исключения неизвестных сил давления пороховых.газов рассмотрим снаряд и откатывающиеся .части как одну систему.

Пренебрегая за время движения снаряда в канале ствола сопротивлением

откату и силами Р, р и N , которые очень малы по сравнению с силами давления пороховых газов, вызывающих откат, найдем, что сумма приложенных к системе внешних сил равна ну^ю (рис 290; откатывающиеся вместе со стволом части ча

нем не показаны). Тогда Q= const и Qx=const, а так как до выстрела система неподвижна (Q0=0), то и в любой момент времени Qx—0.

Обозначим скорость откатывающихся частей в конечный момент через v. Тогда абсолютная скорость снаряда в этот момент равна й+v. Следовательно,

Qx=PvxlX+P(Ux+ = °-

Отсюда находим

Если бы была известна абсолютная скорость вылета снаряда и^, то в равенство (а) вместо ux+vx вошла бы сразу величина и ^ , откуда

Р“ *«х

V*-----р—

Знак минус в обоих случаях указывает, что направление v противоположно и. Подчеркиваем, что при вычислении полного количества движения системы

надо учитывать абсолютные скорости движения ее частей.

| 113*. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ К ДВИЖЕНИЮ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)

Рассмотрим установившееся течение жидкости. Установившимся называется течение, при котором в каждой точке области, занятой

жидкостью, скорости v ее частиц, давление р и плотность р не изме­ няются со временем. При такрм течении траектории жидких час­ тиц являются одновременно линиями тока, т. е. кривыми, в каждой точке которых касательные направлены так же, как скорости жид­ ких частиц, находящихся в данный момент времени ь этих точках.

284

Выделим в движущейся жидкости область, ограниченную линия­ ми тока, называемую трубкой тока (рис. 291, а; в случае движения в трубе это область, ограниченная стенками трубы). При устано­ вившемся течении через любое поперечное сечение трубки с пло­

движения Qla. В момент времени t+dt этот объем перейдет в поло­ жение 3—4, а его количество движения будет

со скоростью vu а в объем 2—4 — та же масса со скоростью vt. Тогда

dQ= Qs4— Qu = GcJP*— vl) dt и dQ/dt —Gc (vt— их).

Подставляя это значение производной в уравнение (20), получим

Равенство (23) выражает теорему об изменении количества дви­ жения для установившегося движения жидкости (или газа) в трубке

тока (или в трубе). Величину Gcv называют секундным количеством движения жидкости. Тогда теорему можно сформулировать так:

разность секундных количеств движения жидкости, протекающей через два поперечных сечения трубки тока (трубы ), равна сумме внешних сил, действующих на объем жидкости, ограниченный этими сечениями и поверхностью трубки тока (стенками трубы). Теорема позволяет при решении задач исключить из рассмотрения все внут­ ренние силы (силы взаимных давлений частиц жидкости в объеме

1-2).

В случае движения в трубе разделим действующие внешние си­

лы на главный вектор массовых сил (сил тяжести) F ы, действующих на все частицы жидкости, и главные векторы поверхностных сил:

R " — сил давления на жидкость со стороны стенок трубы (реакций

285