Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

трубы), Я? и Я? — сил давления в сечениях 1 и 2 со стороны жид­

Равенство (23') выражает теорему, называемую теоремой Эйлера.

Задача 128. Д а в л е н и е . с т ру и . Струя воды вытекает из брандспойта со скоростью i>= 10 м/с и ударяет под прямым углом о твердую стенку (рис. 292). Диаметр вытекающей струи d= 4 см. Определить силу динамического давления на стенку.

Р е ш е н и е . Рассмотрим часть струи, заключенную между сечениями 1и 2, и применим к ней теорему, выражаемую равенством (23), проектируя обе его части на ось Ох. Учтя, что внешней силой, дающей проекцию на ось Ох, является

реакция R стенки и что Rx= —R . получим

Задача 129. По расположенному в вертикальной плоскости и изогнутому под углом а колену трубы длиной I и радиусом г течет вода со средней по сечению скоростью v (рис. 293). Определить полную силу давления воды на колено, если давления на входе и выходе из колена равны соответственно рх и ра.

Р е ш е н и е . Применим к объему ) —2 воды, заключенной в колене, урав­ нение (23') в проекциях на оси Ох и Оу. Внешними силами для этого объема будут

массовая сила (сила тяжести) rryg, силы давления Рх и Р г в сечениях 1 и 2 и сум­

марная реакция R стенок колена, имеющая составляющие Rx и R u. Тогда полу­ чим

Сс (vix — vlx) = R X+ P i cos а —Р г, \ Gt (vtl/—vlv)= R u — P1slna—mg. J

Так как в данном случае и1=и2=у, то 4,*= и cos a, «ix=o, .i>ij,=^-i>sin а, Vty—О. Кроме того, по формуле (22) Gc=pnr4i, где р — плотность воды; =р,лг*; P t=ptfirl , а масса воды в колене m=plnr2. Подставляя все эти величины в уравнения (а), найдем окончательно:

/?*=яг*[ро*(1—cos a)+ ps—pjcos а], /?„=л/-2(р Л т a+pjSin a+pgOСилы давления воды на колено трубы численно равны Rx и R u, но имеют проти­ воположные направления.

286

$ 114.* ТЕЛО ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ. ДВИЖЕНИЕ РАКЕТЫ

В классической механике масса каждой точки или частицы систе­ мы считается при движении величиной постоянной. Однако в не­ которых случаях состав частиц, образующих данную систему или тело, может с течением времени изменяться (отдельные частицы мо­ гут отделяться от тела или присоединяться к нему извне); вследствие этого будет изменяться и суммарная масса рассматриваемого тела. Задачи, в которых имеет место подобное присоединение или отде­ ление единичных масс, нам уже встречались (см. выше задачи 126, 127 или задачу 86 в § 78). В этом параграфе будет рассмотрен другой практически важный случай, когда процесс отделения от тела или присоединения к нему частиц происходит непрерывно. Тело, масса М которого непрерывно изменяется с течением времени вследствие присоединения к нему или отделения от него материальных частиц, будем называть телом переменной массы. Для тела переменной массы

где F (t) — непрерывная функция времени.

Когда такое тело движется поступательно (или когда вращатель­ ная часть его движения не учитывается), это тело можно рассмат­

важном примере движения ракеты, считая ее точкой переменной массы. Обозначим относительную (по отношению к корпусу ра­

кеты) скорость истечения продуктов горения из ракеты через и.

Чтобы исключить силы давления, выталкивающие продукты горе­ ния, сделав эти силы внутренними, рассмотрим в некоторый момент времени t систему, состоящую из самой ракеты и частицы, отделяю­ щейся от нее в течение промежутка времени df (рис. 294). Масса ц этой частицы численно равна величине <Ш, на которую за время dt изменяется масса ракеты. Так как М — величина убывающая, то dM<0, и, следовательно, (x=|dAf|=—dM.

Уравнение (20) для рассматриваемой системы можно предста­ вить в виде

где Р — геометрическая сумма приложенных к ракете внешних сил. _

Если скорость v ракеты за время dtf изменяется на величину du, то количество движения рассматриваемой системы получает при

этом приращение Mdv. У частицы в момент t количество движения равно цу (она еще является частью тела), а в момент t+dt оно будет

287

ц(у+ы), так как частица получает дополнительную скорость и. Следовательно, за время dt количество движения частицы изменится

на величину ыц=—udM (поскольку ц=—dAf), а для всей системы

получится dQ=Mdy—udM. Подставляя это значение dQ в равенство (24) и деля обе его части на dt, найдем окончательно

Уравнение (25) представляет собой в векторной форме дифферен­ циальное уравнение двиясения точки переменной массы, называемое уравнением Мещерского.

Учитывая, что последнее слагаемое в правой части_(25) по раз­

мерности также является силой, и обозначая его через Ф, мы можем уравнение (25) представить еще в виде

Таким образом, реактивный эффект сводится к тому, что на ра­

кету при ее движении дополнительно действует сила Ф, называемая

реактивной силой.

Величина dM/dt численно равна массе топлива, расходуемого за единицу времени, т. е. секундному расходу массы топлива Gc.

Таким образом, если учесть знак, то

Отсюда следует, что

т. е. реактивная сила равна произведению секундного расхода массы топлива на относительную скорость истечения продуктов его сго­ рания и направлена противоположно этой скорости.

Н е к о т о р ы е д р у г и е с л у ч а и д в и ж е н и я т е л а пер е- ы е н н о й м а с с ы . Если рассмотреть движение тела, масса М которого с те­ чением времени вследствие непрерывного присоединения к нему частиц возрас­ тает (dAf/d/>0), считая это тело.тоже точкой переменной массы, а относительную

скорость присоединяющихся частиц обозначить по-прежнему и, то нетрудно про­ верить, что для такого тела уравнение движения сохранит вид (25) или (26), только

вуравнении (26), поскольку теперь dAf/dOO, будет

Ф= uGc.

Наконец, для тела, у которого одновременно происходит непрерывное от деление и присоединение частиц, в уравнении (26) получится

Ф =—uiGlc+ujOw,

где щ я иа — относительные скорости отделяющихся •И присоединяющихся чаотиц соответственно; 01с — отделяющаяся, а С*с — присоединяющаяся за се­ кунду масса.

288

Такой случай имеет, например, место для самолета, на котором установлен воздушно-реактивный двигатель, засасывающий воздух из атмосферы и выбра­ сывающий его вместе с продуктами горения топлива. Так как доля этих про­ дуктов в отбрасываемом воздухе очень мала (не превышает 2—3%), то здесь практически можно считать Gic—Gtc= Oc■Кроме того, очевидно, что относитель­

ная скорость присоединяемой массы воздуха и.г= —v, где v — скорость само­

лета. Тогда, полагая ы1=и, получим соответственно для вектора Ф и его мо­ дуля Ф значения:

Ф = — Gc(u-(-u), Ф — в с (и —у).

При определении модуля реактивной силы принято, что скорости v (самолета)

ии (отбрасываемого воздуха) направлены в прямо противоположные стороны. Формула справедлива и для гидрореактивного двигателя, создающего тягу

за счет засасывания и выброса воды.

Ф о р м у л а Ц и о л к о в с к о г о . Найдем, как происходит движение ракеты под действием только одной реактивной силы,

считая Р= 0, а относительную скорость истечения и постоянной. Направим координатную ось х в сторону движения (см. рис. 294). Тогда vx=v, их= —и и уравнение (25) в проекции на ось х, если в нем положить F'= 0, примет вид

Обозначим массу корпуса ракеты со всем оборудованием через М к, а всю массу топлива через М т. Тогда, очевидно, M t= M K+ M r, а масса ракеты, когда все топливо будет израсходовано, будет равна М к. Подставляя эти значения в равенство (28), получим формулу Циолковского, определяющую скорость ракеты, когда все ее топливо будет израсходовано (скорость в конце так называемого активного участка):

Строго этот результат справедлив в безвоздушном пространстве и вне поля сил. Из формулы (29) видно, что предельная скорость ракеты зависит: 1) от ее начальной скорости и0; 2) от относительной скорости истечения (вылета) продуктов горения и; 3) от относитель­ ного запаса топлива МТ1МК (число Циолковского). Очень интересен тот факт, что от режима работы ракетного двигателя, т. е. от того, насколько быстро или медленно сжигается все топливо, скорость ракеты в конце периода горения не зависит.

Важное практическое значение формулы Циолковского состоит в том, что она указывает возможные пути получения больших ско­ ростей, необходимых для космических полетов. Этими путями явля­ ются увеличение М 7/Мк, и и v0, причем путь увеличения и и и0 более эффективен. Увеличение и и М т/Мк связано с видом топлива и конструкцией ракеты. Применяемые жидкие топлива позволяют

получить ы=3000-г-4500 м/с. Но значения М х/Мк у одноступенча­ тых ракет таковы, что они не дают скоростей, необходимых для кос­ мических полетов (см. § 98). Получить необходимую скорость можно путем использования составной (многоступенчатой) ракеты, части (ступени) которой по мере израсходования содержащегося в них топлива автоматически отделяются от последней ступени, получаю­ щей в результате дополнительную (начальную) скорость.

Подобная многоступенчатая ракета была применена для запуска первых в мире советских искусственных спутников Земли (4 октяб­ ря и 3 ноября 1957 г.), а также при многочисленных пусках других космических объектов, в том числе кораблей, на которых совершают свои полеты космонавты.

Глава X X IV

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

§ 115. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Понятие о моменте количества движения для одной материальной точки было введено в § 85. Г лавным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно данного цент­

ра О называется величина К 0, равнаягеометрической сумме моментов

количеств движения всех точёк системы относительно этого центра *:

При этом К х, К и, К г представляют собой одновременно проекции вектора Ко на координатные оси.

В § 110 было отмечено, что количество движения системы можно рассматривать как характеристику ее поступательного движения. Из последующего будет видно, что главный момент количеств дви­ окения (кинетический момент) системы может рассматриваться как характеристика ее вращательного движения.

просто моментом количеств движения системы.

290