Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

внимание на этот прием, существенно облегчающий вычисление возможной работы).

Составляв условие равновесия (99) в учитывая формулы (101), волучвм, обозначив АВ=1,

—( / y / 2+ P a//2)6q>+Ffisc=0 -

Но, по аналогии с теоремой о проекциях скоростей двух точек тела, fences а=» = & в sin а, где 6sg=lbif. Тогда osc = l tg а -6<р и окончательна

F = 0,5 (PH -Я») ctg а.

Заметим, что методами геометрической статики в этой задаче составить только одно уравнение, из которого сразу найдется F, нельзя.

Задача 171. В планетарном механизме с дифференциальной передачей (см. § 70) на ось А независимо друг от друга насажены шестерня 1 радиусом rj и кривошип АВ, несущий на себе ось В шестерни 2 радиусом г. (рис. 360). На кривошип действует вращающий момент М, а на шестерни 1 в 2 — моменты со­ противлений Mi и Mt. HaAiH значения Л1, и Mt при равновесии механизма.

Р е ш е н и е . Механизм имеет две степени свободы, так хак в нем возможны два независимых перемещения: а) поворот кривошипа АВ при неподвижной шестерне У и б) поворот шестерни / при неподвижном кривошипе АВ. Сообщим сначала системе возможное перемещение, при котором шестерня 1 остается не* подвижной (рис. 360, а). Для этого перемещения уравнение (99) дает

Мбфдв—Afs6q>j=0 .

Но когда шестерня 1 неподвижна, точка касания шестерен будет мгновенным центром скоростей для шестерни 2 .Следовательно, i's= ‘‘V «- В тож е время Vg=

=Отсюда о у а= w^a(rl+ / p1) или ггЫр,—(/i-f гJflqUB и мы получаем

M»='VW/(rl+ r1).

Теперь сообщим системе другое, независимое от первого возможное пере­ мещение, при котором кривошип АВ неподвижен (рис. 360, б). Для этого пере­ мещения по условию (99) будет М1б<р1— —M,&pj=0. Но при неподвижном кри­

вошипе

условием равновесия (100). Беря начало в неподвижной точке А и проводя оси х н у , получим

Q ix 6 * i + Q j* 6* «+ Р * у 8уа= 0 , (а)

так как остальные проекции сил обращаются в нули.

Для нахождения бдс,, 6xt, бу, определим значения координат Х(, xt, у, точев приложения сил, выразив их через углы а и р . Получим, обозначая длины стерж­ ней через а и Ь:

хх—а cos а, хг—а cosa+ 2 b cosp, yj=fcslnp+asina .

Дифференцируя эти выражения, найдем:

Q ix^Q . «**=-<?. Р»„=-Р)

366

Подставляя это значение Оа в равенство (б) наИдем

2 Q.sin Р—Р ( cos р — ctg a sin р )= 0 ,

откуда

Р= 2 Q/(ctg Р — ctg a).

При угле Р, близком к а, сил* давления Р получается очень большой.

1 141. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать метода! статики для решения задач динамики. Сле­ довательно, применяя эти два принципа одновременно, мы можем получить общий метод решения задач динамики.

Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы кроме действующих на них активных сил F( и реакций связей Nh прибавить соответст­ вующие силы инерций F f= — mkak, то согласно принципу Даламбе­ ра полученная система сил будет находиться в равновесии. Тогда, применяя к этим силам принцип возможных перемещений, получим

2 Щ + 2 6Л2 + 2 6Л1 = 0.

Но последняя сумма по условию (98) равна нулю и окончательно будет:

системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех.сил инер­ ции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Уравнение (102), выражающее этот принцип, называют о б щ и м у р а в н е н и е м д и н а м и к и . В аналитической форме уравне­

Уравнения (102) или (103) позволяют составить дифференциаль­ ные уравнения движения механической системы.

Если при этом система представляет собой совокупность какихнибудь твердых тел, то для составления уравнений нужно к дейст­ вующим на каждое тело активным силам прибавить приложенную

влюбом центре силу, равную главному вектору сил инерции, и пару

смоментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра (или одну из этих величин, см. § 134), а затем приме­ нить принцип возможных перемещений,

367

Задача 173. В центробежном регуляторе, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью о> (рис. 362),. вес каждого из шаров/£>, и D t равен р; а вес муфты CjC, равен Q. Пренебрегая весом стержней, определить угол а, если ODl= O D ,= />OB1=O B 2= B 1C1= B aC ,= 6. _ _ /

Р е ш е н и е . Присоединяем к активным силам p i,p t n Q* центробежные силы

инерции F" и 7 « (сила инерции муфты, очевидно, будет равна нулю) и составляем общее уравнение динамики, в виде (103). Тогда, вычисляя проекции всех сил на

6х1= 6 х * = —/s in а -6а, 6уа~ —61/1= / co sa -6a, бя »= —26sin a -6a .

Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получаем

1—2pi sin о + 2 (p/g)/*«)* sin a сое a—2Qb sin a]6a=0.

Так как c o s a < l, то шары будут отклоняться, когда w*Xp/+Q6)g/p/*. С увеличением ш угол а растет, стремясь к 90° при о>-*-оо.

Рис. 363

Задача 174. В подъемнике, изображенном на рис. 363, к шестерне /.имею ­ щей вес Pi и радиус инерции относительно ее оси pi, приложен вращающий момент М . Определить ускорение поднимаемого груза 3 весом Q, пренебрегая весом веревки и трением в осях. Барабан, на который наматывается веревка, Жестко скреплен с другой шестерней; их общий вес равен Р „ а радиус инерции

относительно оси вращения р,. Радиусы шестерен равны соответственно и г., а радиус барабана г.

Р е ш е н и е . Изображаем действующую на систему активную силу Q и вра­ щающий моментам (силы и Рг работы не совершают); присоединяем к ним силу инерции груза F\ и пары с моментами М " и М ", к которым приводятся силы инер-

368

ции вращающихся тел (см. § 134). Эти величины по модулю равны:

Направления всех величин показаны на чертеже. Сообщая системе возмож­ ное перемещение и составляя уравнение ( 102), получим

— (Q + FS) 6sa+ (Л1 - M l) 6ф1- Л1!?6<ра = 0.

Выражая все перемещения через 6<ра, найдем, что

Окончательно уравнение движения примет вид

Входящие сюда величины е* и еа выразим через искомое ускорение (%. Учи­ тывая, что 6}, е2 связаны между собой так же, как и (Oj, wai получим:.

8a—fl|/r, ®1-"^а®2^1 ^ 3/^1.

В результате найдем окончательно

(гъ/гд M — r*Q

r*Q + plPt + (p lr l/ r l)P 1 IS

Задачу можно было бы решить и с помощью теоремы об изменении кинетиче­ ской энергии (см. §124).

Глава XXIX

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

$ 142. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ И ОБОБЩЕННЫЕ СКОРОСТИ

Число координат (параметров), определяющих положение меха­ нической системы, зависит от количества точек (или тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Будем в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическими связями (точнее только голономные системы). Как установлено в § 138, у такой системы число независимых координат, определяю­ щих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. В качестве этих координат можно выбирать параметры, имеющие любую размерность и любой геометрический (или физический) смысл, в частности отрезки прямых или дуг, углы, площади и т. п.

Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые одно­ значно определяют ее положение, называют обобщенными координа­ тами системы. Будем обозначать обобщенные координаты буквой q. Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будет опре­

Поскольку обобщенные координаты между собой независимы, то

также между собой независимы. При этом каждая из величий (105)

определяет соответствующее, независимое от других возможное перемещение системы.

Как при всяком переходе от одной системы координат к Другой, декартовы координаты xk, yk, zk любой точки рассматриваемой ме­ ханической системы можно выразить через обобщенные координаты зависимостями вида: xk= x k(qu qt, . . ., qs) и т. д. Следовательно,

и для радиуса-вектора rk этой точки, поскольку rh—xkl+ y kj+ z kk, тоже будет*

Пример 1. Плоский математический маятник (рис. 364) имеет одну степень сво­ боды (s= 1); следовательно, его положение определяется одной обобщенной коор­ динатой q. В качестве этой координаты здесь можно выбрать или угол (р, или дли­ ну S дуги АМ , или (так как движение происходит в одной плоскости) площадь о сектора ОАМ, указав во b c jx случаях положительное и отрицательное направле­ ния отсчета каждой из этих координат. Выбор в качестве обобщенной координаты абсциссы х точки М будет неудачным, так как эта координата не определяет поло­ жение точки М однозначно (при данном значении х маятник может быть отклонен­ ным от вертикали вправо или влево).

Если в качестве обобщенной координаты выбрать угол <р, то возможное пере­ мещение маятника получим, сообщив углу приращение 6q>. Декартовы коорди­ наты х н у точки М можно выразить через q> в виде x = l cos ф, y = l sin <р, где /=

= ОМ. Тогда, в соответствии с равенством (106), и7=7(<р).

Рис. 365

Пример 2. Двойной плоский маятник (рис. 365) имеет две степени свободы и в качестве обобщенных координат можно выбрать углы <р и ^(?1= ф , qt—'p). Эти углы

между собой независимы, так как можно изменять угол ф, сохраняя неизменным ф, и наоборот. Величины &р и определяют независимые Между собой возможные перемещения системы.* Выражения декартовых координат точек А н В через обоб-

_ * Считаем для сокращения записей наложенные связи стационарными (иначе

г* зависели бы еще от аргумента <). Вид окончательных уравнений (см. § 145) от

этого допущения не зависит и они будут справедливы и для нестационарных свя­ зей.

370