Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Вынося общий множитель 6^ за скобки, найдем окончательно/

ментарной работы всех действующих сил на этом перемещении выражение

Величина Q, представляет собой обобщенную силу, соответствую­ щую координате qt, и т. д

Очевидно, что если системе сообщить такое возможное пере­ мещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, то сумма элементарных работ приложенных сил на этом

Формула (112) дает выраясение полной элементарной работы всех действующих на систему сил в обобщенных координатах. Из этого равенства виднб, что обобщенные силы — это величины, рав­ ные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выразкении полной элементарной работы действующих на систему

QUA.

Если все наложенные на систему связи являются идеальными, то работу при возможных перемещениях совершают только активные силы й величины Qu Q.......... Q, будут представлять собой обоб­ щенные активные силы системы.

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты.

Отсюда видно, что если q — линейная величина, то Q имеет раз­ мерность обычной силы (в СИ измеряется в ньютонах), если q — угол (величина безмерная), то Q будет измеряться в Н м и имеет размерность момента; если q — объем (например, положение поршня

372

в цилиндре можно определять объемом запоршневого пространства), то Q будет измеряться в Н/м* и имеет размерность давления, л т. д. Как видим, по аналогии с обобщенной скоростью, понятием об обобщенной силе охватываются все величины, встречавшиеся ранее как меры механического взаимодействия материальных тел (сила, момент силы, давление).

В ы ч и с л е н и е о б о б щ е н н ы х с и л будем производить поформулам вида (108), (110) *, что сводится к вычислению возмож­ ной элементарной работы (см. § 140). Сначала следует установить, каково число степеней свободы системы, выбрать обобщенные коор­ динаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе актив­ ные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем для определения надо сообщить системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата qu получая положитель­ ное приращение 6qu вычислить на этом перемещении сумму эле­ ментарных работ всех действующих сил по формулам (101) и пред­ ставить полученное выражение в виде (108). Тогда коэффициент при 6qi и дает искомую величину Qx. Аналогично вычисляются Q„

Q........

Пример 1. Подсчитаем обобщенную силу для системы, изображенной на рис. 366, где груз А весом перемещается по гладкой наклонной плоскости, а груз В весом Р %— по шероховатой горизонтальной плоскости, коэффициент трения о

которую равен /. Грузы связаны нитью, перекинутой через блок О. Массой нити н блока пренебрегаем. Система имеет одну степень свободы и ее положение опре­ деляется координатой 9i= x (положительное направление отсчета х показано стрелкой). Для определения Qi сообщаем системе возможное перемещение бдс, при кото­

ром 6х > 0 , и вычисляем на этом перемещении элементарные работы сил Рх и FTp; остальные силы работы не совершают. Так как FTV= fN = fP 1, то

бА = (Рх sinot—{Р2)Ьх.

* Значения Qt можно еще определить непосредственно по формулам вида

координаты х у / , , г* точек приложения сил через qlt qit . . ., qs. Можно также, вычислив сразу элементарную работу всех сил и приведя ее к виду ( 112), нахо» дить Qi как коэффициенты при 617/. Но обычно расчет этими методами не дает преимуществ, а может оказаться и более сложным.

373

Следовательно,

Qi— Pi sin a—fP2.

Пример 2. Пренебрегая трением, найдем обобщенные силы для системы, изоб­ раженной на рис. 367. Однородный стержень АВ имеет длину I и вес Р и может вра­ щаться вокруг оси А в вертикальной плоскости. Нанизанный на него шарик М имеет вес р. Длина пружины AM равна в ненапряженном состоянии Ь0, а жест­ кость — с.

Система имеет две степени свободы (независимыми являются перемещение шарнка вдоль стержня и поворот стержня вокруг оси А). В качестве обобщенных ко­ ординат выберем угол (р и расстояние х шарика от конца ненапряженной пружины (<h=q>, qt= x ); положительные направления отсчета координат показаны стрел­ ками.

Сообщаем скачала сястеме возможное перемещение, при котором угол ф полу­ чает приращение 6ф(6ф>0), a jc= const. На этом перемещении работу совершают

силы Р и р. По второй из формул (101) находим (знак минус здесь потому, что на­ правление момента противоположно направлению 8ф)

6ЛХ= [ — (Pi/2) sin ф—р (М -* ) sin ф]вф.

Следовательно,

Q i= —[Я //2+р (Vf-*).l sin ф.

Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором изменяется только координата х, получая приращение 6х>0, а угол <p=const. На этом пере­

мещении работу совершают сила тяжести р и сила упругости, модуль которой F—

—сх. Тогда

6Л ,= (р cos ф—сх)йх

ж

Q z~p cos ф—сх.

Обобщенная сила Qy имеет в этом случае размерность момента, так как qy=<fi а сила Qa — размерность обычной силы.

С л у ч а й п о т е н ц и а л ь н ы х с и л . Если все действую­ щие на систему силы являйэтся потенциальными, то для системы, как известно, существует такая силовая функция U, зависящая от координат Xk, ук, гк точек системы, что сумма элементарных работ действующих сил равна полному дифференциалу этой функции, т. е. £6ЛЛ=6£/ {см. § 126, формула (62)]. Но при переходе к обобщенным координатам qlt qt, . . . , qs все xh, yh, zh могут быть выражены через

Следовательно» если все Действующие на систему силы потенци­ альны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой

374

функции ( или взятым со знаком минус частным производным от по­ тенциальной энергии) по соответствующим обобщенным координа­ там.

Пример 3. Все силы, действующие на систему, изображенную на рис. Э67| потенциальны. Если при этом направить координатную ось Аг вертикально вверх* то по формулам (64), (64') из § 127 найдем для всей системы

П = — (Pl/2) cos q>—p(b0-j-x) cos <р+сх*/2,

что совпадает с результатами, полученными в примере 2>

| 144. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

Согласно принципу возможных перемещений необходимым и достаточным условием равновесия механической системы является равенство нулю суммы элементарных работ всех активных сил (и сил трения если они совершают работу) на любом возможном перемещении системы, т. е. условие 2бЛк= 0. В обобщенных коорди­ натах это условие, согласно равенству (112), дает

Так как все величины бqt, 6qt, . .., 6qs между собой независимы, то равенство (116) может выполняться тогда и только тогда, когда каждый нз коэффициентов при 6qu 6qt, . . ., bqt в отдельности ра­ вен нулю, т. е.

Всамом деле, если допустить, что одна из этих величин, например не равна нулю, то всегда можно сообщить системе такое возмож­

ное перемещение, при которомbq^O , a б<7,= 6<7»= . . . —bqs= 0, и мы придем к противоречию с условием (116).

Таким образом, для равновесия механической системы необхо­ димо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным дл$ системыобобщенным координатам, были равны нулю. Число условий равновесия (117) равно, как видим, числу обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы системы.

Из сравнения метода вычисления обобщенных сил (см. § 143) и способа решения задач, которым пользовались в § 140, видно, что по существу при решении задач с помощью принципа возможных пе­ ремещений мы вычисляли соответствующие обобщенные силы, а за­

P i= fP tl sin а. Поскольку при вычислении Qi было принято, что Ртр~ jN /пр> то условие Q i=0 дает наибольшее значение Рг, при котором груз А не опускается, т. е. определяет предельное положение равновесия (см. § 25), Система будет в рав­ новесии и при P i< fP 3l sin о.

375