Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

2. Для системы, изображенной на рис. 367, из условий равновесия Qi—0 и Qt = 0 получаем очевидный результат: при равновесии <р=0 , х = р /с= Х ст.

С Л у ч а й п о т е н ц и а л ь н ы х си л . В этом случае условия

Равенства (118) или (119) выражают необходимые условия экстремума функции нескольких переменных. Следовательно, сис­ тема, на.которую действуют потенциальные силы, в тех положениях, для которых силовая функция или потенциальная энергия системы имеет экстремум (в частности, минимум или максш^ум), находится в равновесии. Вопрос об устойчивости этих положений равновесия будет рассмотрен в § 147.

f 148. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

Чтобы найти уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, обратимся к общему уравнению динамики (102), которое дает

Для общности не будем предполагать, что все наложенные на систему связи являются идеальными. Поэтому в первую сумму мо­ гут входить как работы активных сил, так и, например, работы сил трения.

Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение опреде­ ляется обобщ енны ми координатами (104). Тогда по формуле (112)

2бЛ* = Qt + S<7,+ •••+Q,6<^. (121)

Очевидно, что совершенно так же, как это было сделано в § 143 для сил Fk, можно преобразовать_к обобщенным координатам

376

Подставляя величины (121) и (121') в уравнение (120), найдем

Так как все 6qlt 6qt, . . ., bq, между собой независимы, то полу­ чение6 равенство может выполняться тогда и только тогда, когда каждый из коэффициентов при bqu 6qt, . . . , 6qs в отдельности равен нулю, в чем убеждаемся, рассуждая так же, как при выводе урав­ нений (117). Следовательно, должно быть

Полученными уравнениями можно непосредственно пользовать­ ся для решения задач динамики. Однако процесс составления этих уравнений значительно упростится, если выразить все входящие сюда обобщенные силы инерции через кинетическую энергию систе­ мы. Преобразуем сначала соответствующим образом величину

QJ. Поскольку сила инерции любой из точек системы F t= —mhali= ~ — mhdvh/dt, то первая из формул (122) дает

024)

Чтобы выразить QJ через кинетическую энергию системы, надо пре­ образовать правую часть равенства (124) так, чтобы она содержала только скорости уточек системы. С этой целью заметим прежде всего, что

< | 2 5 >

В справедливости равенства (125) легко убедиться, продифферен­ цировав произведение, стоящее справа в скобках. Дальнейшее преобразование осуществляется с помощью следующих двух ра­ венств:

Докажем сначала справедливость первого из них. Так как сог­ ласно (106) rfc=7fc((/x, qt, . . . , qs), то

Справедливость второго из равенств (126) следует из того, что операции полного дифференцирования По t и частного по qt переместительны, т. е.

d ( дгк\ д ( dr*\ dvk d t K d q J - дЯ1\ ~ З г)~ dqi

Подставив теперь величины (126) в равенство (120), получим

377

и формула (124), есть учесть, чтосумма производных равна производ­ ной от суммы, a w|=wj, примет вид

dq '

где 7 '= 2 т Ли|/2 — кинетическая энергия системы.

Аналогичные выражения получатся для всех остальных обоб­ щенных сил инерции. В результате равенства (123) дадут оконча­ тельно

(127)

Уравнения (127) и представляют собой дифференциальные урав­ нения движения системы в обобщенных координатах или уравнениях Лагранжа*. Число этих уравнений, как видим, равно числу сте­ пеней свободы системы.

Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравне­ ний состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся; определяется число уравнений Лагранжа только числом степеней свободы системы. Кроме того, при идеаль­ ных связях в правые части уравнений (127) входят обобщенные ак­ тивные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции свя­ зей.

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qlt Qa, . . ., Qs и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu qt, . . ., qs как функции времени. Так

как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей q{, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений йоявятся вторые производные по

времени qt от искомых координат. Следовательно, уравнения Лаг­ ранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные урав­

систему силы потенциальные, то, используя формулы (115), можно

* Уравнения Лагранжа могут применяться для изучения движения любых механических систем с геометрическими (точнее с голономными) связями. Для изу­ чения движения Неголономных систем (см. § 137) используются другие.уравнения, которые в данном курсе не рассматриваются.

378

первое из уравнений (127) представить в виде

Последнее равенство справедливо потому, что потенциальная энергия П зависит только от координат qlt qt, . . ., qs, а от обобщен­

ных скоростей не зависит и dTl/dq^O.

Аналогично преобразуются все остальные уравнения системы (127). Введем функцию

Функция L от обобщенных координат и обобщенных скоростей, равная разности между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потен­ циалом. Тогда в случае потенциальных сил уравнения Лагранжа примут вид

Из полученного результата следует, что состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функ­ цию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы.

При соответствующем обобщении понятий, функции, аналогич­ ные функции Лагранжа, описывают состояние других физических систем (непрерывной среды, гравитационного или электромагнш-- ного поля и др.) Поэтому уравнения Лагранжа вида (129) играют важную роль в ряде областей физики.

§ 146. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Уравнениями Лагранжа, как уже указывалось, можно пользо­ ваться для изучения движения любой механической системы с геометрическими или сводящимися к геометрическим (голономными) связями, независимо от того, сколько тел (или точек) входит в систему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное или относительное) рассматривается.

Чтобы для данной механической системы составить уравнения

му в произвольном положении и показать на рисунке все действую­ щие силы (для систем с идеальными связями только активные)-,

379

3) вычислить обобщенные силы Q,- путем, указанным в § 143; при этом во избежание ошибок в знаках каждое сообщаемое системе возмож­ ное перемещение должно быть направлено так, чтобы приращение соответствующей координаты, было положительным', 4) определить кинетическую энергию Т системы в ее абсолютном движении и вы­ разить эту энергию через обобщенные координаты qt и обобщенные

скорости qt\ 5) подсчитать соответствующие частные производные

от Т по qt и qt и подставить все значения в уравнения (127). Указанным путем уравнения Лагранжа составляются независи­

мо от того, рассматривается ли абсолютное (по-отношению к инер­ циальной системе отсчета) или относительное движение механиче­ ской системы. Но в последнем случае возможен и другой путь, а именно кинетическую энергию системы определять в ее относитель­ ном движении, но зато при нахождении обобщенных сил присоеди­ нить к силам, действующим на систему, переносные силы инерции (чего при использовании первого пути делать не надо).

Из полученных уравнений, если заданы действующие силы и начальные условия, можно, интегрируя эти уравнения, найти закон движения системы в виде (107). Если же задан закон движения, то составленные уравнения позволяют определить действующие силы.

Когда все приложенные к системе силы являются потенциаль­ ными, уравнения Лагранжа можно составлять в вйде (129). При этом вместо вычисления обобщенных сил надо определить потенци­ альную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты, и затем, определив еще и кинетическую энергию, составить функцию Лагранжа (128).

Начнем с задачи, позволяющей легко уяснить Порядок составле­ ния уравнений Лагранжа.

Задача 175. Составить, пользуясь методом Лагранжа, дифференциальное урав­ нение колебаний физического маятника (см. § 129).

Р е ш е н и е . Маятник имеет одну степень свободы и его Положение определя­ ется углом <р (см. рис. 324). Следовательно, ?1=(р. Сообщая углу <р положительное приращение 6<р, найдем, что на этом перемещении работу совершает только сила

тяжести Р и 6i4t= (—Ра sin ф)6ф, где а—ОС. Поэтому Qt= —Pa sin <р. Кинетиче­ ская энергия маятника T = J ou ?l2 или T = J оЦ?!2 (напоминаем, что величина Т

должна быть выражена через обобщенную скорость, a w=q>). Уравнение Лаг­ ранжа, так как имеет вид

В данном случае, поскольку Т от угла ф не зависит,

Подставляя найденные величины в уравнение (а), получим

/0ф = — Ра sin ф,

т.е. тот же результат, что и в § 129.

360