Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Поскольку сила тяжести Р потенциальная, то уравнение Лагранжа можно сос­ тавить в виде (129). Направляя ось Ог вертикально вниз, имеем в данном случае Н=‘ —Р г = —Ра cos <р. Тогда по формуле (128):

В результате уравнение (129) также дает J ojf+ P a sin ф=0.

Задача 176. Решить с помощью уравнений Лагранжа задачу 143 (см. $ 124). Р е ш е н и е . Механизм имеет одну степень свободы (см. рис. 314) и его по­ ложение определяется координатой ф (<7х=ф). Сообщая углу ф приращение бф, найдем, что на этом перемещении элементарная работа ОАх будет иметь выраже­ ние, совпадающее с выражением АА1в задаче 143, если только заменить в нем <1ф на

6ф. Следовательно,

Qx= —сф(/—г)Чг*.

Величина Т для механизма также была найдена (формула (б) в задаче 143). Учйтывая, что ш*р=<р, получим

Т = (9P +2Q )/V /12?,

откуда

^ = ° . - g = (9P + 2Q)/»q)/6«.

т. е. тот же результат, что и в задаче 143.

Обращаем внимание на то, что-для системы с одной степенью свободы составле­ ние дифференциального уравнения движения методом Лагранжа сводится по су* ществу к тем же расчетам, что и при использовании теоремы об изменении кинети­ ческой энергии.

Задача 177. Найти закон движения шарика В массой m вдоль трубки ОА, вра­ щающейся равномерно в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ш (рис. 368). В начальный момент шарик находится от оси О на расстоянии и его скорость вдоль трубки равна нулю. Найти также, какой при этом действует на трубку вращающий момент Mt f .

Р е ш е н и е . Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат вфберем координату х, определяющую относительное движение шарика,

Найдем сначала Qi и Q,. На перемещении, при котором координата х получа­ ет приращение 6х, действующие силы работу не совершают (трубка вращается в горизонтальной плоскости); следовательно, 6Л,==0. На перемещении, при котором

Кинетическая энергия системы слагается из энергии Тг шарика и энергии Tt труб­ ки. Энергию 7\ определяем для абсолютного движения шарика. T o w 7'1=/т»Ь/2, где VB — абсолютная скорость шарика, причем векторно од= вох+ Unep. В данном случае численно ti0I= x , vatv= O B ‘ <o=хф и так как и0т_Й »р . то

Т1 = т(х*+х*<р*))2.

Учтя еще, что Tt= J 0u?/2—Jо<р/2, где J0 — момент инерции трубки, получим

окончательно

T^=m(3^-{-xt^ t)/2-\-J0ф*/2. .

381

Отсюда

Подставляя эти величины и значения Qi, Qt из равенств (б) в уравнения (а) и учтя одновременно, что по условиям задачи ф=со= const, получим:

x+<D*x=0, 2та>хх— Мър. (в)

Интегрируя первое из уравнений (в) и определяя постоянные интегрирования по

начальным условиям задачи (при /= 0 х = х 0, х=0), найдем окончательно следую­ щий закон движения шарика вдоль„трубки:

х = х 0 (e®*-f-e—®**)/2 или x = x 0ch шЛ (г)

Второе из равенств (в) определяет искомый момент (нетрудно видеть, что он равен моменту кориолисовой бнлы инерции). Если с помощью уравнения (г) вы­

Заметим, что для шарика здесь решалась основная задача динамики (опреде­ ление закона движения по заданным силам), причем изучалось его относительное движение, но так как значение Т находилось для абсолютного движения системы, то вводить силы инерции не понадобилось; для трубки же, наоборот, по заданному движению определялся момент действующей силы (или пары сил).

ш / ш Зшшя шя шМштт .т .

Рис. 369

Задача 178. Масса тележки 1 равна mt, а масса находящегося на ней сплош­ ного цилиндрического катка 2 равна гщ. Определить, с каким ускорением будет двигаться тележка вдоль горизонтальной плоскости под действием приложенной

х ней силы F (рис. 369), если каток при этом катится по тележке без скольжения. Массой колес тележки пренебречь.

Р е ш е н и ё. Система имеет две степени свободы (независимы перемещение катка относительно тележки и перемещение самой тележки). В качестве обобщен­ ных координат выберем координату х тележки и координату s центра масс С катка

Кинетическая энергия тележки Tx=m 1x*/2, а катка 7’, = т аос/2+Ус®2/2, где i’с — абсолютная скорость^центра С катка и численно Vq=x—s. Так как для сплош­

ного цилиндра J c—m2rs/2, а при качении без скольжения io=s/r, где s — относи­ тельная скорость центра С'по отношению к тележке (считать здесь w=Vq!t было бы ошибкой), то окончательно получим

382

Тогда

Для определения обобщенных сил дадим сначала системе возможное переме­ щение, при котором координата х получает приращение бх>0. На этом перемеще­ нии 6Ai=F6x. На перемещении же, при котором s получает приращение 6s, оче-' видно, 6i4t= 0 . Следовательно,

<?i=f, Qi=0.

Подставляя эти значения Qt, Q2 и значения производных, определяемые фор­ мулами (в), в равенства (а), найдем следующие дифференциальные уравнения дви­ жения системы:

(m^+ m,) х — m,s = F, 3s— 2х = 0. (г)

Из последнего уравнения s=2x/3, и тогда первое уравнение дает окончательно для ускорения ах тележки значение

fli = х — 3F/(3mi - f m,).

Нели каток был бы на тележке закреплен неподвижно, то ее ускорение, оче­ видно, равнялось бы FI(m1+ 'n t).

Отметим еще один результат. Допустим, что трения катка о тележку нет. Тогда он по тележке будетскользить, двигаясь поступательно, и Г ,= mau?;/2 = т ,(х —s)’ /2.

Легко видеть, что первое из уравнений (г) при этом не изменится, а второе, так

как теперь d7Vds=m, (s—х), примет вид s—* = 0 и дает*=*. В результате из первого уравнения системы (г) находим для ускорения тележки значение a1= f/m 1.

Объясняется такой результат тем, что при отсутствии тре"ния тележка не увле­ кает с собой катка и движется так, как если бы катка на ней вообще не было.

Задача 17*. На барабан /, имеющий радиус R и массу т 1? распределенную по его ободу, намотан тросик, к которому посредством пружины с коэффициентом

вкачестве обобщенных координат угол <р поворота барабана

иудлинение х пружины (<7i=<p, q2~ x ). Тогда уравнения Лагранжа будут:

Кинетическая энергия системы 7'= 7’1+ 7 ',) где 7’1=У 1ф*/2, Tt= m tv\!2. В дан­ ном случае / 1= т 1^*, а u,=uOT+Onep и vt='x—R<p. Тогда

383

Э то будут искомые уравнения. Сложив их почленно, получим mxR4= M ^ R —cXi

а исключив из этого равенства и равенства (д) R<f, найдем следующее дифферен­ циальное уравнение относительных колебаний груза, совершаемых с частотой к:

Абсолютное движение груза происходит по закону s= x —Rф. Это движение тож$ сопровождается колебаниями с частой k. Колебаниями с такой же частотой сопро1 вождается и вращение барабана.

Задача 180. К оси В однородного катка весом Я, который может кататься без скольжения вдоль горизонтальной плоскости, прикреплен шарнирно однородный стержень BD длиной / и весом р (рис. 371). Соста­

Окончательно найдем следующее выражение для функции Лагранжа:

384

Подставляя эти величины в равенства (а), получим после очевидных сокращений следующие дифференциальные уравнения движения системы:

^ ((ЗЯ + 2р) х + р /ф c o s ф ]= О,

.Перейдем теперь к отысканию закона малых колебаний системы. При этом счи­ таем угол ф и смещение х малыми величинами одного и того же порядка малости, т. е. полагаем, что ф =е/, (/), х = е /,(/), где е — малая величина, а / х (f), / . (t) — не­ которые функции от времени (ограниченные вместе с их производными), опреде­

ляющие закон колебаний. Очевидно, что при этом и скорости ф =е/1(/), x=e/*(Q будут также малыми величинами порядка е.

Чтобы составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы, надо в уравнениях (б) сохранить только члены порядка е, а малые более высокого

порядка отбросить. Для этого в слагаемом р/ф cos ф, которое входит в первое из уравнений, надо положить cos ф = 1, а во втором уравнении принять sin ф=ф,

cos ф= 1 и член хф Ф отбросить целиком как имеющий порядок е*. В результате уравнения (б) примут вид:

^ ((З Я + 2р )х+ р/ф ] = 0, ^ * + у / ф ) + « ф = 0 .

Отсюда, вычисляя производные, найдем окончательно следующие дифференциаль­ ные уравнения малых колебаний рассматриваемой системы:

(ЗЯ+ 2р) if+ р/ф = 0, х -f- (2//3) <р + £ ф = 0. (в)

Определив из первого уравнения х и подставив его значение во второе уравне­ ние, получим

Интегрируя уравнение (г) и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям задачи (при / = 0 ф=фв. <р=0), найдем окончательно

Интегрируя теперь первое из уравнений (в) и учитывая, что При /= 0 х —0, х=.0, Ф = Ф о , ф=0, получим

(ЗЯ.+2р)дс+р/ (ф—фо)=0.

Замена здесь ф его значением из равенства (е) дает

х = = 3,p + (ж )

Уравнения (е), (ж) и определяют закон малых колебаний системы. Частота к этих колебаний дается равенством (д).

Такой сравнительно простой результат получился в данной задаче потому, что здесь Qi=0. Вообще же, колебания системы с двумя степенями свободы оказыва­ ются значительно более сложными и слагаются из колебаний с двумя разными ча­ стотами kx v к2 (см. § 150).

Задача 181. Составить уравнения движения симметричного гироскопа в форме Лагранжа. Рассмотреть случай медленной прецессии.

Р е ш е н и е . Гироскоп имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера ф, ф, 6 (см. рис. 172 в § 60). Тогда уравнения Лаг­