. (94)
В результате величина ударной силы, действовавшей на энергоблок, оказалась, примерно, равной
(95)
Отметим, что старые понятия импульс силы и ударный импульс не позволяют решать подобные задачи.
6.4 Момент количества движения материальной точки
Часто при изучении движения точки вместо изменения вектора возникает необходимость рассмотреть изменение его момента относительно данного центра O или оси OZ. При этом момент вектора относительно центра O или оси OZ обозначают соответственно: и и называют моментом количества движения или кинетическим моментом точки M относительно центра O или оси OZ. Вычисляется момент так же, как и момент силы (рис. 20).
На рис. 20 векторы и лежат в плоскости П перпендикулярной к оси OZ. Модуль момента силы относительно центра O равен .Модуль момента количества движения материальной точки относительно центра O равен где - длина перпендикуляра, опущенного из точки O на направление вектора . Приведем векторную запись момента силы и момента количества движения :
(96)
Направление вектора определяется так же, как и вектора . Момент силы относительно координатных осей записывается так:
Аналогично записывается и момент количества движения относительно осей:
(97)
Рис. 20. Схема к вычислению момента количества движения материальной точки
Если известны координаты () точки, то моменты количества движения этой точки относительно осей равны:
(98)
(99)
(100)
6.5 Теорема моментов относительно центра
Производная по времени от момента количества движения точки (взятого относительно какого-нибудь центра O) равна моменту действующей на эту точку силы относительно того же центра.
Дифференцируя выражение по , получим:
(101)
Так как векторы и параллельны, то и учитывая, что , окончательно имеем
(102)
Или (103)
Теорема доказана
Следствие теоремы. Если то То есть, если момент действующей на точку M силы относительно некоторого центра O равен нулю, то момент количества движения точки M относительно этого же центра O есть величина численно и по направлению постоянная. Считается, что точка в этом случае движется под действием центральной силы. Центральной силой называется сила, линия действия которой проходит через центр O. Классическим примером такой силы является сила притяжения планет к Солнцу или спутника к Земле.
Теорема о моменте количества движения в координатной форме. Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-нибудь неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
Спроектируем векторное уравнение
(104)
на оси координат:
(105)
(106)
(107)
Эти уравнения и выражают теорему о моменте количества движения в координатной форме.
6.6 Закон сохранения момента количества движения (кинетического момента)
Из (103) и (107) следует, что если и , то и . Это значит, что при отсутствии внешних сил точка будет вращаться относительно центра O или оси OZ вечно не меняя направления векторов или . В этом и заключается суть закона сохранения кинетического момента. Совсем недавно выяснилось, что этот закон управляет постоянством самой фундаментальной константы Природы - постоянной Планка [1], [2].
Поскольку постоянная Планка является фундаментальной величиной Квантовой механики, описывающей поведение обитателей микромира, то закон сохранения кинетического момента оказывается главным законом, управляющим формированием и поведением элементарных частиц. Так как постоянная Планка имеет размерность момента количества движения или кинетического момента и та как это - понятие классической ньютоновской механики, то законы этой механики должны работать в микромире также успешно, как и в макромире. Это уже доказанный факт. Дальше мы подтвердим достоверность этого утверждения на примере новой теории электрона.
7. Приложение общих теорем механодинамики к теории удара
7.1 Основные определения
Мы уже отметили, некорректность связи ударного импульса с ударной силой. Суть этой некорректности в том, что с увеличением времени действия ударного импульса увеличивается сила удара и она теряет характер ударного действия. Поэтому закладываем в понятие «ударный импульс» лишь изменение количества движения тела или механической системы, то есть результат действия ударной силы. Мы уже заменили понятие сила удара понятием ударная сила, которая определяется, как частное от деления величины суммарной силы сопротивления движению тела при ударе на время её удара. С учетом изложенного и будем рассматривать явление удара.
Ударное действие силы зависит от упругих свойств соударяющихся тел. Эти свойства характеризуются величиной, называемой коэффициентом восстановления.
Процесс удара о плиту, например, падающего шара можно разделить на две фазы.
1. В момент начала удара скорости всех частиц шара убывают до нуля (рис. 21, а). Шар деформируется, и его кинетическая энергия переходит во внутреннюю потенциальную энергию деформируемого тела (рис. 21, б).
2. Шар под действием внутренних упругих сил начинает восстанавливать свою форму, и потенциальная энергия переходит в кинетическую, - шар начинает двигаться в обратном направлении (рис. 21, б). В конце удара скорости частиц шара оказываются меньше их скорости до удара, за счет этого уменьшается и кинетическая энергия, так как часть ее идет на деформацию шара. В начале удара скорость шара , а в конце . На основании этого вводится величина , называемая коэффициентом восстановления при ударе.
Рис. 21. Схема к описанию процесса удара
Величина , равная отношению модуля скорости тела в конце удара к модулю скорости в начале удара называется коэффициентом восстановления при ударе.
Из определения следует, что для абсолютно упругого удара , а абсолютно неупругого удара и вся механическая энергия теряется на деформацию и нагревание соударяющихся тел.
Для экспериментального определения можно воспользоваться формулой Галилея. До удара , после удара . Отсюда
(108)
Здесь - высота падения тела; - высота подъема тела после удара о плиту. Значения некоторых .
Дерево о дерево -
сталь о сталь -
стекло о стекло -
При изучении удара действием неударных сил (например, сил тяжести) пренебрегают из-за их малости. Пренебрегают также и перемещением точек тела при ударе. В основе изучения удара лежит изменение скоростей точек тела за время удара.
7.2 Общие теоремы теории удара
Общие теоремы теории удара базируются на общих теоремах механодинамики.
Теорема об изменении количества движения системы при ударе. Для одной точки действие внешних сил равно
(109)
Для системы точек можем записать
(110)
Или (111)
По свойству внутренних сил Поэтому
(112).
Изменение количества движения системы за время удара равно сумме действий всех внешних сил. В проекции на ось OX
(113)
Если то , то есть количество движения системы не изменяется. Следовательно, внутренние действия сил не могут изменить количества движения всей системы.
7.3 Теорема об изменении главного момента количества движения при ударе
Если равнодействующая действий внешних сил , то, учитывая, что за время удара тело остается неподвижным, определим по теореме Вариньона сумму моментов векторов относительно какого-нибудь центра O.
(114)
Для всех точек системы
(115)
Обозначим главные моменты количества движения системы относительно центра O в конце и начале удара:
, . (116)
Тогда (117)
то есть изменение за время удара главного момента количества движения системы относительно какого-нибудь центра O равно сумме моментов всех действий на систему внешних сил относительно того же центра.
Если , то , то есть главный момент количества движения не изменяется. В проекциях на любую ось, например, ось ОХ имеем
7.4 Частные случаи удара
1. Удар тела о неподвижную преграду
Если нормаль к поверхности тела в точке его касания с плитой проходит через центр масс тела, то удар называется центральным.
Если центра масс тела в начале удара направлена по нормали к плите, то удар прямой. В противном случае - косой.
При прямом ударе о плиту (рис. 21)
Но при прямом ударе о плиту векторы и направлены противоположно друг другу, поэтому , кроме того
(118)
Ударное действие тем больше, чем больше .
2. Прямой центральный удар двух тел (удар шаров рис. 22).
Рис. 22. Схема удара двух шаров
Удар называется прямым и центральным, когда общая нормаль к поверхностям тел в точке касания проходит через их центры.
Считая и известными, найдем и . Для этого применим теорему об изменении количества движения к соударяющимся телам, рассматривая их как систему.
(119)
Так как масса шаров разная, то и , поэтому
(120)
Действия сил соударяющихся тел:
(121)
Здесь возможны два предельных случая:
а) абсолютно неупругий удар ().
Из (119) и (120) имеем
(122)
Подставляя полученный результат в выражение (119), получим действие силы
(123)
б) абсолютно упругий удар (). Из (119) и (120) имеем
(124)
(125)
Ударный импульс
(126)
При абсолютно упругом ударе действие силы вдвое больше, чем при абсолютно неупругом. Когда и шары одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.
7.5Удар по вращающемуся телу
Из этого имеем
(127)
Угловая скорость тела за время удара изменяется на величину, равную отношению момента ударного действия к моменту инерции тела относительно оси вращения.
8. Работа, мощность, энергия
8.1 Работа силы
Для характеристики действия силы на точку или тело при их движении вводится понятие о работе силы. При ускоренном движении точки или тела работу совершает ньютоновская сила. При равномерном движении точки или тела нютоновская сила отсутствует, а работа совершается или постоянной активной силой или силой инерции. При замедленном движении точки или тела работа совершается только силой инерции. Таким образом, перед тем как определять работу силы надо обязательно установить вид движения материальной точки, так как от этого зависит сила, совершающая работу. Однако в любом случае элементарная работа силы на бесконечно малом перемещении равна
(128)
где - проекция силы на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки. Размерность работы в системе СИ
Составляющая , формируя давление на связь, которая (при идеальных связях) считается недеформируемой, не совершает работу. Поскольку , то
(129)
Элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения .
Рис. 23. Схема к анализу работы силы
Следствия, вытекающие из формулы (129):
1) если , то - ускоренное движение;
2) если , то - ускоренное движение;
3) если , то замедленное движение;
4) если , то - замедленное движение;
5) если , то - равномерное движение.
Знак работы имеет следующий смысл: 1 - работа положительна, когда сила ускоряет движение; 2 - работа отрицательна, когда сила замедляет движение.
Аналитическое выражение элементарной работы. Работу силы на перемещении можно вычислить как сумму работ ее составляющих на перемещениях , то есть
(130)
Это аналитическое выражение элементарной работы силы. Интегрируя на участке пути , имеем
Поскольку интеграл берется вдоль кривой , то он является криволинейным. Если постоянна по модулю, то
(131)
Графический способ вычисления работы. Если известен график зависимости от , то работу можно вычислить графически, измерив площадь (рис. 24). С учетом масштаба величин и эта площадь будет равна работе силы на перемещении . Единица измерения работы в системе СИ
Рис. 24. Схема к графическому определению работы силы
Пример. Вычислить работу силы тяжести (рис. 25).
где
Работа силы тяжести равна произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения
Рис. 25. Работа силы тяжести
Пример. Вычислить работу силы, приложенной к вращающемуся телу (рис. 26).
.
С другой стороны вращающий момент. Поэтому откуда
Если то Если на тело действует пара сил, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси OZ, то момент пары.
Рис. 26. Работа силы , вращающей тело относительно оси OZ
8.2 Мощность
Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность , где - время, в течение которого произведена работа. В общем случае
(132)
Мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость движения . Если тело вращается под действием вращающего момента , то