(133)
То есть, мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость вращения тела. При одной и той же мощности вращающий момент тем больше, чем меньше угловая скорость . Размерность мощности
8.3 Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
Кинетическая энергия материальной точки определяется выражением
(134)
Размерность кинетической энергии совпадает с размерностью работы.
Теорема. Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.
Из основного закона механодинамики (рис. 27) имеем . Проектируя уравнение на направление скорости , получим (рис. 27)
(135)
Умножим обе части уравнения (135) на
Подведя под знак дифференциала, получим
(136)
Мы доказали теорему: Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.
Рис. 27. Схема движения точки M под действием силы
Интегрируя последнее выражение, имеем
(137)
Разность кинетических энергий материальной точки равна работе силы, приложенной к ней на пройденном пути.
8.4 Потенциальное силовое поле
Силовым полем называется часть пространства, в котором на находящуюся там материальную точку действует некоторая сила, зависящая от положения этой точки, то есть от координат . Проекции силы, действующей на точку, в этом случае - функции координат.
(138)
Силовое поле часто называют потенциальным. Оно описывается силовой функцией , частные производные которой по координатам равны проекциям силы поля на соответствующие оси координат.
(139)
Элементарная работа силы потенциального поля равна
То есть элементарная работа силы потенциального поля равна полному дифференциалу силовой функции . Интегрируя полученный результат, имеем
(140)
Работа силы потенциального поля на конечном пути равна Как видно, работа сил потенциального поля равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и, следовательно, не зависит ни от вида, ни от длины траектории, по которой перемещается точка из положения в положение . Отсюда следует, что работа силы потенциального поля на замкнутой траектории равна нулю.
8.5 Понятие о потенциальной энергии
Если материальная точка перемещается в потенциальном поле из положения , в котором в положение , в котором , то работа , производимая силой поля по перемещению точки из положения в положение , называется потенциальной энергией точки .
(141)
В силовом поле Земли в качестве нулевой принимается точка на уровне моря. В ней и поэтому в общем случае
(142)
На основании этого запишем:
(143)
То есть проекции силы потенциального поля на координатные оси равны взятым с обратными знаками частным производным от потенциальной энергии по соответствующим координатам.
Пример. Определить работу силы гравитации Земли по перемещению материальной точки из положения в положение (см. рис. 25).
Так как
и то
Из этого имеем
8.6 Закон сохранения энергии
Пусть и - два разных положения материальной точки в силовом поле, в которых она имеет:
, , ,
, , ,
Поскольку и , то
(144)
Отсюда
(145)
При движении материальной точки в потенциальном силовом поле сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной. Этот результат, выражающий закон сохранения только механической энергии и не распространяется на другие виды энергии, например, электромагнитную.
8.7 Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении
Кинетическая энергия материальной точки определяется по средней величине скорости её движения при любом виде движения. Теорема о кинетической энергии материальной точки в относительном движении часто применяется при решении инженерных задач. При этом необходимо принимать во внимание работу переносной и кориолисовой сил инерции на относительном перемещении точки.
Но так как кориолисово замедление всегда относительной скорости , то работа кориолисовой силы инерции в относительном движении равна нулю и эта сила не входит в уравнение кинетической энергии. Поэтому уравнение кинетической энергии материальной точки в относительном движении c учетом (120) и (136) будет иметь вид
(146)
Правая часть этого уравнения выражает элементарную работу сил и на относительном перемещении точки.
8.8 Пример гравитационной задачи
Известно, что Общая теория относительности (ОТО) А. Эйнштейна предсказывает искривление пространства гравитационным полем и существование черных дыр. Доказательством искривления пространства служили результаты наблюдений за отклонением траектории светового фотона далекой звезды гравитационным полем Солнца. Впоследствии эти результаты были признаны ошибочными. Законы Классической механики достаточно просто предсказывают эту ошибочность [5].
Если длина волны фотона , частота колебаний , то скорость фотона и его энергия определяется зависимостями:
(147)
где - постоянная Планка.
Сила , движущая световой фотон с длиной волны со скоростью , будет равна [5]
. (148)
Учитывая массу Солнца кг, радиус Солнца м, постоянную гравитации и обозначая массу фотона через , определим силу гравитации Солнца, действующую на пролетающий мимо фотон, по формуле
(149)
Тангенс угла отклонения фотона от прямолинейного движения при пролете вблизи Солнца будет равен
(150)
Если указанный фотон пролетает вблизи Солнца по прямой, которая параллельна линии, соединяющей центры масс Солнца и Земли, то величина его отклонения от прямолинейного движения в окрестностях Земли будет равна (рис. 28)
Рис. 28. Схема к анализу искривления траектории фотона гравитационным полем Солнца: 1 - Солнце; 2- Земля; 3- звезда
(151)
где м - расстояние от Земли до Солнца.
Наука пока не располагает приборами, способными зафиксировать величину
Гравитационный радиус Солнца, при котором оно превращается в черную дыру, сейчас определятся по формуле, не учитывающей длину волны фотона
(152)
Если гравитационный радиус черной дыры определять из равенства гравитационной силы силе , движущей фотон, то длина волны фотона учитывается.
(153)
Для Солнца и светового фотона с м имеем
(154)
Для гамма фотона с длиной волны гравитационный радиус Солнца, как черной дыры, будет равен
(155)
и ему будет соответствовать плотность вещества Солнца . Если учесть, что плотность ядер атомов оценивается величиной , то появляются серьезные основания сомневаться в существовании черных дыр [5].
Таким образом, ошибка в определении гравитационного радиуса черной дыры по формуле (152) составляет 11 порядков, но астрономы до сих пор не знали об этом [5].
точка тело движение инерция гравитация
9. Механодинамика механической системы
Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки или тела зависят от положения и движения всех остальных точек (тел). Классическим примером механической системы являются трактор, комбайн, автомобиль.
Совокупность тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия (группа работающих в поле тракторов), не образует механическую систему. Силы, действующие на точки или тела системы, могут быть внешними и внутренними. Внешними называют силы, действующие на точки системы со стороны других тел или точек, не входящих в состав данной системы. Внутренними называют силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы. Как внешние, так и внутренние силы могут быть в свою очередь или активными, или реакциями связей.
Основное свойство внутренних сил заключается в том, что геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равна нулю. Это свойство вытекает из четвёртого закона механодинамики.
Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси также равняется нулю.
9.1 Масса системы. Центр масс
Движение системы зависит не только от действующих на нее сил, но и от ее суммарной массы и распределения масс, входящих в систему. Масса системы M равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему .
Как известно, координаты центра тяжести тела определяются по формулам:
(156)
где - координаты точек приложения сил тяжести частиц тела, - веса частиц тела, - вес всего тела.
Учитывая, что и , имеем:
(157)
где - координаты геометрической точки C, называемой центром масс, системы (рис. 29).
Рис. 29. Схема комбайна - механической системы
Если положение центра масс определяется его радиусом-вектором , то
(158)
где - радиусы-векторы точек, образующих систему.
В однородном поле тяжести положения центра масс и центра тяжести совпадают, но понятия эти не тождественны. Понятие о центре тяжести имеет смысл для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести. Понятие о центре масс имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, находящихся как в поле тяжести, так и вне этого поля.
9.2 Момент инерции тела относительно оси
Положение центра масс не полностью характеризует распределение масс системы. Например, при увеличении (рис. 30) положение центра масс C системы двух шаров и штанги, соединяющей их, не меняется, а распределение масс станет другим, и изменится движение (вращение замедлится).
Чтобы учесть распределение масс в системе, введено понятие момент инерции системы, который характеризует распределение масс.
Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси (или осевым моментом) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек этого тела (системы) на квадрат их расстояний до оси.
(159)
Рис. 30. Схема к определению момента инерции системы двух шаров
Момент инерции тела (системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.
Осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Единицей измерения момента инерции в системе СИ будет
При вычислении осевых моментов инерции расстояния от точек тела или системы до осей можно выражать через координаты этих точек. Например, через координаты точки тела (рис. 31).
Или (160)
Рис. 31. К определению осевых моментов инерции
В плоскости XOY (если материальная точка лежит в этой плоскости).
(161)
Радиусом инерции тела относительно оси OZ, называется линейная величина , определяемая равенством . То есть
(162)
где и - координаты центра масс тела.
Радиус инерции тела равен расстоянию от оси OZ до той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции этой точки относительно оси OZ был равен моменту инерции всего тела относительно той же оси.
Для сплошного тела , но , где - плотность вещества; - объем тела; - расстояние от элемента тела до оси OZ, поэтому
9.3 Моменты инерции некоторых однородных тел
1. Момент инерции тонкого однородного стержня длиной и массой M относительно оси OZ, проходящей перпендикулярно стержню через его конец (рис. 32). Для любого элементарного отрезка длиной , величина , масса . Поскольку плотность , то
(163)
Таким образом, момент инерции однородного стержня относительно оси, перпендикулярной его концу, равен одной третьей произведения массы стержня на квадрат его длины.
Рис. 32. Схема к определению момента инерции однородной пластинки
2. Момент инерции круглого однородного кольца радиуса и массы относительно оси OZ, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр (рис. 33), равен
(164)
Рис. 33. К определению момента инерции однородного кольца
Момент инерции однородного кольца относительно оси OZ, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, равен произведению массы кольца на квадрат его радиуса.
3. Момент инерции круглого однородного диска относительно оси OZ, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска (рис. 34), равен
Рис. 34. К определению момента инерции однородного диска. Ось CZ перпендикулярна плоскости рисунка
(165)
где - поверхностная плотность круга.
Переходя к пределу, получим
(166)
4.Момент инерции круглого цилиндра равен
5. Момент инерции шара равен
9.4 Момент инерции тел относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса)
Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями (рис. 35).