Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Отношение называется средней скоростью движения (v_ср) за время x, а предел отношения при определяет мгновенную скорость точки в момент времени (v_мгн ). Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения произвольной функции. Какую бы зависимость ни отражала функция , отношение есть средняя скорость изменения у относительно изменения х, а  мгновенная скорость изменения у при . Значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.

Рис. 10

2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в данной точке , то она и непрерывна в этой точке.

З а м е ч а н и е. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т.е. не иметь производной в этой точке. Примером такой функции служит функция , ко­торая непрерывна в точке , но не имеет в этой точке производной, т.е. не является дифференцируемой.

Если функция имеет производную в каждой точке неко­торого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого про­межутка), то будем говорить, что функция дифференцируема на указанном промежутке.

3.3. Дифференциал функции

1. Определение и геометрический смысл дифференциала. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. ее прираще­ние у в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых:

, где

Слагаемое является при бесконечно малой одного порядка с (при А  0), оно линейно относительно . Слагаемое при – бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Таким образом, первое слагаемое (при А  0) является глав­ной частью приращения функции .

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно , часть прира­щения функции в этой точке:

. (3.2)

Если , то , и поэтому слагаемое уже не является главной частью приращения у, так как слагаемое , вообще говоря, отлично от нуля. Однако и в этом слу­чае по определению полагаем дифференциал функции в точке равным , т.е. .

Учитывая, что , формулу (3.2) можно записать в виде

. (3.3)

Пусть . Тогда по формуле (3.3)

Поэтому дифференциалом независимой переменной х назовем приращение этой переменной . Соотношение (3.3) принимает теперь вид

. (3.4)

З

Рис. 51

Рис. 11

Дифференциал функции имеет следующий геометрический смысл. Пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента , точка Р  значению аргумента , прямая MS  касательная к графику в точке М,   угол между касательной и осью Ох. Пусть, далее MN || Ox, PN || Оу , Q  точка пересечения касательной MS с прямой PN (рис. 11). Тогда приращение функции равно величине отрезка NP. В то же время из прямоугольного треугольника MNQ получаем: , т.е. дифференциал функции равен величине отрезка NQ. Из геометрического рассмотрения видно, что величины отрезков NP и NQ различны. Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению «ординаты касательной» к графику этой функции в точке , а приращение функции y есть приращение «ординаты самой функции» в точке , соответствующее приращению аргумента, равному .

2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Из определения дифференциала следует, что он зависит линейно от и является главной частью приращения функции y. Само же y зависит от более сложно. Во многих задачах приращение функции в данной точке приближенно заменяют дифференциалом функции в этой точке: .

Пример. Покажем, что если  мало, то можно использовать приближенную формулу

Решение. Рассмотрим функцию При малых х имеем

откуда, положив , х = , получим

В частности, при  = 0.0003.

3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций

1. Правила дифференцирования.

Теорема 1. Если функции и дифферен­цируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также диффе­ренцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

, ,

С л е д с т в и е. Если функции и дифферен­цируемы в точке х, то

, ,

2. Производная постоянной функции. Производная функции , где С – постоянное число, выражается формулой . А, в силу теоремы 1, постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3. Производные тригонометрических функций.

1) Производная функции выражается формулой .

2) Производная функции выражается формулой .

3) Производная функции выражается формулой