Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
.
63.
.
64.
Определить порядок
малости
относительно
при
:
65.
66.
67.
68.
69.
Задана функция
При
каком выборе параметров, входящих в ее
определение,
будет
непрерывной?
70.
71.
72.
Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
Ответы к п. 2
4. 2.
5.
2. 6.
.
7.
0. 8.
9. 6.
10.
11. 1.4.
12. .
13.
n.
14. 3/5. 15.
1/6.
16.
17.
18. 3/2. 19.
0. 20.
7/4.
21. 3.
22. 7/3.
23. 1/.
24. 3/4.
25. 2.
26.
27. 0.
28. /.
29.
30. 1. 31.
32.
33.
34. 2.
35.
.
36. +1,
1.
37. ,
+.
38. +,
0. 39. 0,
+.
40.
,
.
41. 2/3.
42. 1/2.
43. 1/3.
44. 1/2.
45. 0.
46. 1/2.
47. –10/9.
48. 2. 49.
1/2. 50.
–2.
51. –1/4.
52.
.
53.
.
54. 1.
55. 9.
56. 1.
57. 25.
58. 5.
59. 1. 60.
2.
61.
.
62. 5/3.
63. –1/9. 64.
0. 65.
3/2. 66.
2/3. 67.
1. 68.
3. 69.
1.70.
.
71.
.
72.
.
73.
точки разрыва второго рода. 74.
точка разрыва первого рода. 75.
точка устранимого разрыва;
.
76.
точка устранимого разрыва;
.
77.
точки разрыва второго рода. 78.
точка разрыва первого рода. 79.
точка разрыва первого рода. 80.
точка разрыва первого рода.
3. Дифференцирование
3.1. Производная функции
1.
Определение производной.
Пусть на некотором промежутке Х
определена функция
.
Возьмем любую точку
и зададим аргументу х
в точке
произвольное приращение
такое,
что точка
также
принадлежит
X.
Функция получит приращение
.
Определение. Производной функции в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).
Для обозначения
производной функции
в точке
используют
символы
или
.
Итак, по определению,
Если для некоторого значения выполняется условие
,
то
говорят, что в точке
функция
имеет бесконечную
производную знака
плюс (или знака минус). В отличие от
бесконечной производной определенную
выше производную функции иногда называют
конечной
производной.
Если функция
имеет конечную производную в каждой
точке
,
то производную
можно рассматривать как функцию от
х,
также определенную на
X.
Из определения производной вытекает
и способ ее вычисления.
Пример.
Найти производную функции
в
точке
.
Решение. Давая аргументу х в точке , приращение , найдем соответствующее приращение функции:
Составим
отношение
и найдем предел этого отношения при
:
.
Следовательно,
производная функции
в точке
равна числу
,
что в принятых обозначениях можно
записать так:
.
2.
Геометрический
смысл производной.
Пусть функция
определена
на интервале (а,b)
и пусть точка М
на графике функции соответствует
значению аргумента
,
а точка Р
значению
.
Проведем через точки М
и Р
прямую и
назовем ее секущей.
Рис. 9
Обозначим через
угол между
секущей и осью Ох
(рис. 9).
Очевидно, что этот угол зависит от
х.
Если существует
,
то прямую с угловым
коэффициентом
,
проходящую через точку
,
называют предельным
положением секущей МР
при
(или при
).
Определение. Касательной S к графику функции в точке М будем называть предельное положение секущей МР при , или, что то же, при .
Из определения
следует, что для существования касательной
достаточно, чтобы существовал предел
,
причем
предел
равен углу наклона касательной к оси
Ох.
Если функция имеет в точке производную, то существует касательная к графику функции в точке , причем угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной .
3. Физический смысл производной. Предположим, что функция описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т.е. – путь, пройденный точкой М от начала отсчета за время х.
Тогда за время
пройден путь
,
а за время х1
– путь
.
За промежуток времени
точка М
пройдет отрезок пути
(рис. 10).
4. Правая и левая производные.
Определение. Правой (левой) производной функции в точке называется правый (левый) предел отношения при (при условии, что этот предел существует).
Обозначение:
.
Если функция
имеет в точке
производную, то она имеет в этой точке
правую и левую производные, которые
совпадают. Вместе с тем существуют
функции, имеющие в данной точке
правую и левую производные, но не имеющие
производной в этой точке. Это, например,
функция
,
которая имеет в точке
правую производную, равную
(при
),
и левую производную, равную
(при
),
но не имеет в этой точке производной,
так как
3.2. Дифференцируемость функции
1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде
,
(3.1)
где
А
некоторое число,
не зависящее от
,
a
–
функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при
,
т. е.
Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.
Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.