Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
2.9. Основные свойства непрерывных функций
Теорема 1
(об устойчивости
знака непрерывной функции). Пусть
функция
непрерывна
в точке
и
.
Тогда
существует
такое,
что для всех
функция
имеет тот же
знак, что
.
Теорема 2
(первая теорема Больцано-Коши). Пусть
функция
непрерывна
на отрезке
и на концах отрезка имеет значения
разных знаков. Тогда существует точка
,
в которой
.
Сформулированная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей которой является ось абсцисс, в другую пересекает эту ось.
Теорема 3
(вторая теорема Больцано-Коши).
Пусть функция
непрерывна на отрезке
,
причем
,
.
Пусть,
далее,
С – любое число,
заключенное между А и В.
Тогда на отрезке
найдется точка с такая,
что
.
Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.
Теорема 4 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
З а м е ч а н и е. Теорема неверна, если отрезок заменить интервалом (а,b). Так, например, функция
непрерывна
на (0,1),
но не
ограничена,
так как
Теорема 5
(вторая теорема Вейерштрасса). Если
функция
непрерывна
на отрезке
,
то она достигает на этом отрезке по
меньшей мере один раз наибольшего
значения М и наименьшего значения
m.
Теорема 6.
Пусть функция
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
.
Тогда сложная функция
непрерывна в точке х0
.
Теорема 7.
Пусть
функция
определена, строго монотонна и непрерывна
на некотором промежутке X
и пусть Y
множество ее значений.
Тогда на множестве Y
обратная функция
однозначна, строго монотонна и непрерывна.
Задачи к п. 2
В задачах 1
3,
пользуясь только определением предела
функции, доказать что
и заполнить таблицу:
|
0,1 |
0,01 |
0,001 |
|
|
|
|
1.
2.
3.
Вычислить пределы следующих выражений:
4.
5.
6.
.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Используя замечательные пределы, вычислить:
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
Вычислить односторонние пределы:
36.
37.
38.
39.
40.
Найти пределы:
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
