Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

4) Производная функции выражается формулой

4. Производная логарифмической функции.

Производная функции ( ) выражается формулой

С л е д с т в и е. Если , то .

5. Производная показательной функции и обратных тригонометрических функций. Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о существовании обратной функции и функция является для нее обратной. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 2 (о производной обратной функции). Если функция имеет в точке производную , то обратная функция также имеет в соответству-ющей точке производную, причем

(3.5)

Теорема имеет простой ге­ометрический смысл. Рассмотрим в неко­торой окрестности точки график функ­ции (или обратной функции . Пусть точке на этом графике соответствует точка М (рис. 12). Как из­вестно, производная равна тангенсу угла наклона касательной, проходящей через точку М, к оси Ох. Производная обратной функции равна тангенсу угла  наклона той же касательной к оси Оу. Поскольку углы  и  в сумме составляют /2, то формула (3.5) выражает очевидный факт:

Рис. 12

Используя сформулированную теорему, продолжим вычисле­ние производных простейших элементарных функций.

1) Производная функ­ции ( ) выражается формулой

.

С л е д с т в и е 1. Если , то .

С л е д с т в и е 2. Если , то функция называется гиперболическим синусом, а функция называется гиперболическим косинусом.

С л е д с т в и е 3. Если , то .

С л е д с т в и е 4. Если ,

то функция th x называется гиперболическим тангенсом.

С л е д с т в и е 5. Если , то функция cth x называется гиперболическим котангенсом.

2) Производная функции выражается формулой

3) Производная функции выражается формулой

4) Производная функции выражается формулой

5) Производная функции выражается формулой

6. Дифференцирование сложной функции.

Теорема 3. Если функция , имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке и справедлива следующая формула: .

З а м е ч а н и е 1. В данной теореме рассмотрена сложная функция, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость  с двумя, тремя и боль­шим числом промежуточных переменных, но правило дифференци­рования остается таким же.

Так, например, если , где , a и , то производную следует вычислять по формуле .

Пример 1. Вычислить производную функции .

Решение. Данную функцию можно представить в виде , где . Тогда по правилу дифференциро-вания сложной функции

Заменяя и на , окончательно получим

Пример 2. Вычислить производную функции

Решение. Данную функцию можно представить в виде , где , a и . По правилу дифференцирования сложной функции получаем

З а м е ч а н и е 2. Иногда производную приходится вычислять непосредственно исходя из ее определения. Найдем, например, производную функции

При производная вычисляется по формулам и правилам дифференцирования:

Этим выражением нельзя воспользоваться при . В точке производную можно вычислить, используя определение производной:

т.к. произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая. Таким образом,

Теорема 4 (инвариантность формы дифференциала). Дифференциал функции у выражается по одной и той же формуле независимо от того, будет ли у рассматриваться как функция от независимой переменной х, или от зависимой переменной х.

7. Логарифмическая производная. Производная степенной функции. Вычислим производную функции ( ). Так как и (последнее равенство получено на основании правила дифференцирования сложной функции), то производная данной функции выражается следующей формулой

Учитывая эту формулу, вычислим производную сложной функции , где  дифференцируемая функция. Имеем

или

Производная называется логарифмической произ­водной функции . Для упрощения записи при логарифмическом дифференцировании знак модуля у функции обычно опуска­ется.

Вычислим с помощью логарифмической производной производ­ную показательно-степенной функции , где и и v – некоторые функции от х ( ), имеющие в данной точке х про­изводные и . Так как , то имеем

Отсюда, учитывая, что , получаем следующую фор­мулу для производной показательно-степенной функции:

Пример. Вычислить производную функции .

Решение. Данную функцию можно представить в виде , где и . Поэтому

Логарифмическая производная очень удобна при нахождении производной степенной функции с любым вещественным показа­телем.

Производная степенной функции с любым действительным по­казателем (  любое веществен­ное число) выражается формулой