Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

2) если (А  число), то и  бесконечно малые одного порядка;

3) если , то и  эквивалентные бесконечно малые. Эквивалентность обозначается так: .

В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бес­конечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило:

4) если , то  бесконечно малая п-го порядка относительно .

Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно малых функций при  x  +, x  , а также при справа и слева.

Р а с с м о т р и м п р и м е р ы.

1. Функции и х являются при эквивалентными бесконечно малыми, так как .

2. Функции и являются при бесконечно ма­лыми одного порядка, так как

3. Функция является при бесконечно малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой х, так как

Если функции и  бесконечно малые в точке , то функция имеет более высокий порядок малости, чем каждый из сомножителей. Если и при и существует , то существует и , причем

Пример. Найти

Решение. Так как , при , то

Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения. Рассмотрим несколько примеров.

1. Функции и являются при эквивалентными бесконечно большими, так как

В этом случае говорят также, что и имеют одинаковый порядок роста при .

2. Функция является при бесконечно большой более низкого порядка, чем (имеет менее высокий порядок роста), так как

3. Бесконечно большие при функции , имеют одинаковый порядок роста, так

4. Функция является при беско­нечно большой второго порядка по отношению к бесконечно боль­шой , так как

2.7. Непрерывные функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

(2.3)

Так как то соотношение (2.3) можно записать в следующем виде: т.е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела. Приведем равносильное определение непрерывности функции «на языке последовательностей».

Определение 2. Функция называется непре­рывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента х: , , , ..., , ..., сходящейся к ,

последователь­ность соответствующих значений функции:

, , , ..., , сходится к .

Сформулируем определение непрерывности функции «на языке  - ».

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Эквивалентность этих определений очевидна. Запишем определение 3, используя логические символы:

( ) ( ) ( , : | .

Если то функцию называют непрерывной в точке справа (слева). Если функция непрерывна в точке и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое по существу является перефразировкой первого определения. Перенесем в равенстве (2.3) в левую часть и внесем под знак предела. Так как условия и равносильны, то получаем

(2.4)

Разность называется приращением аргумента х в точке и обозначается, как правило, , а разность  приращением функции в точке , вызванным приращением аргумента , и обозначается . Таким образом, , .

Рис. 7

Отметим, что при фиксированной точке является функцией аргумента . Геометрический смысл приращений ясен из рис. 7. Равенство (2.4) в новых обозначениях принимает вид

(2.5)

Соотношение (2.5) и является еще одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так.

Определение 5. Функция называется непрерывной в точке если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при .

Теорема 1. Пусть функции и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции , и также непрерывны в этой точке ( последняя при ).

Определение 5. Если функция непрерывна в каждой точке интервала , то говорят, что функция непрерывна на этом интервале. Если функция непрерывна в каждой точке интервала и непрерывна на концах интервала, соответственно справа и слева, то говорят, что функция непрерывна на замкнутом интервале .

2.8. Классификация точек разрыва

1. Определение и классификация точек разрыва функции.

Опре­деление. Точка называется точкой разрыва функции , если в точке х₀ не является непрерывной.

Разрывы функций классифицируются следующим образом.

Р а з р ы в 1-го р о д а. Точка называется точкой разрыва 1-го рода функции , если в этой точке функция имеет конеч­ные, но не равные друг другу правый и левый пределы: .

Пример. Для функции точка является точ­кой разрыва 1-го рода, так как

У с т р а н и м ы й р а з р ы в. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция имеет конеч­ные, равные друг другу правый и левый пределы:

Пример. Для функции точка является точ­кой устранимого разрыва.

Р а з р ы в 2-го р о д а. Точ­ка называется точкой разрыва 2-го рода функции , если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример. Для функции точка является точкой разрыва 2-го рода, так как

2. Кусочно-непрерывные функции. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках а и b. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.

Рис. 8

Пример. Функция кусочно-непрерывна как на любом отрезке, так и на всей числовой прямой. Напомним, что символ [x] обозначает целую часть числа x. График функции изображен на рис. 8, функция [x] в точках ( п = 0, ±1, ±2, ...) непрерывна справа и разрывна слева. Во всех других точках она непрерывна как справа, так и слева.