Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

изменение скорости во времени в данной фиксированной точке ж, а ux —

момент времени t больше, чем и точке х, если же ux x,t 0 , то скорость в

Это равенство представляет собой частную производную от функции u x,t по x в данный момент времени t, которая характеризует изменение

функции (ее возрастание или убывание, а также быстроту изменения) вдоль оси х в данный момент времени t.

Точно также

(возрастание и убывание и быстроту изменения во времени в рассматриваемой точке x ).

Еще раз отметим, что при помощи формулы (2.74) определяется изменение скорости (функция u x,t вдоль оси x в данный фиксированный

66

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

момент времени t, а при помощи формулы (2.75) — изменение скорости (функция и (х, t) во времени в данной фиксированной точке х. Другими словами, при получении формулы (2.4) время t считаем фиксированным, а при получении формулы (2.5) значение х считается фиксированным. Поэтому

означает изменение скорости (функции и (х, t) вдоль оси х в данный момент времени t t . Причем при t 0 формулы (2.74) и (2.75) совпадают. Точно также

означает изменение скорости (функции и (х, t) во времени в данной фиксированной точке x x . Причем при x 0 формулы (2.77) и (2.75) совпадают.

Из математического анализа известно, что, если

Аналогично из (2.79) получим

67

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

u x,t t u x,t u x,t dt (2.81)

t

При исследовании многомерных моделей нам понадобятся некоторые сведения из векторного исчисления, необходимые при дальнейшем изложении материала.

Векторная величина а определяется в общем случае тремя проекциями на оси декартовой системы координат, т. е.

a ax i ay j az k

где i , j , k — единичные векторы соответственно осей х, у и z. Величину а находим по формуле

a ax2 ay 2 az 2

Градиент скалярной величины x, y, z (grad) является вектором, направленным по нормали к поверхности x, y, z c . Например, в случае

плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости (одиночная цилиндрическая скважина в центре круглого цилиндрического пласта) градиент давления направлен по радиусу, так как поверхности равного давления — цилиндрические окружности. Градиент скалярной величины выражается формулой

следовательно,

Широко применяется в нефтепромысловой механике и понятие скалярной величины — дивергенции векторной величины с

b divc cx cy cz ,

x y z

где сх, су и сг — проекции на оси х, у и z.

Исходя из определения дивергенции и градиента имеем

div grad 2 2 2 2x2 y2 z2

Знак 2 (набла в квадрате), или (дельта), носит название оператора Лапласа.

Теперь рассмотрим применение закона сохранения массы для вывода уравнения неразрывности (сплошности) для различных случаев движения однородной и неоднородной жидкостей, являющегося математическим

68

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

выражением закона сохранения (постоянства) массы. В общем случае движения скорость и, плотность и давление р являются функциями координат х, у, z, -. движущейся частицы и времени t, т. е.

uu x, y, z,t ;

x, y, z,t ;

p p x, y, z,t .

При этом и (х, у, z, t) — скорость жидкости в каждой данной точке пространства в момент времени t, т. е. она относится к определенным точкам пространства, а не к определенным частицам жидкости, передвигающимся в пространстве. То же самое относится к x, y, z,t и р (х, у, z, t).

Рассморим одномерное движение жидкости в трубе (рис. 2.4) вдоль оси х. Считая жидкость несжимаемой, принимаем, что в ней невозможно образование пустот, т. е. соблюдается условие неразрывности (сплошности) движения. Исходя из этого, количество жидкости,

Рис. 2.4.

проходящей в единицу времени через сечения 1—1 (G1x) и 2—2 (G.2x), должно быть одинаково, т. е.

— плотность рассматриваемой жидкости. Так как масса жидкости в рассматриваемом объеме не изменяется, то массовая скорость во всех сечениях будет одна и та же, т. е.

Следовательно,

dwdxx 0 .

Формула (2.84) выражает закон сохранения массы при одномерном течении жидкости. Исходя из формулы (2.83) или же (2.84), имеем wx =

69

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

const, т. е. с учетом постоянства плотности получается u1 u2 , где и1 —

средняя скорость в сечении 1—1, а и2 — в сечении 2—2.

При выводе уравнения (2.84) предполагается, что площадь поперечного сечения трубы постоянная. В противном случае, обозначая площадь поперечного сечения 1—1 через F1, а площадь 2—2 — через F2 и учитывая, что

Из формулы (2.16) видно, что при установившемся течении несжимаемой жидкости средние скорости в поперечных сечениях обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Так как при установившемся течении газа массовый расход по длине трубы имеет одно и то же значение, то, исходя из (2.82) и (2.85), для установившегося течения газа получаем

w1F1 w2 F2

или же

Рис. 2.5.

Рассмотрим случай плоского течения несжимаемой жидкости. Для этого возьмем параллелепипед со сторонами x, y , 1 объемом v 1 x y (рис. 2.5). Количество жидкости, протекающей через стороны 1, 2, 3 и 4 соответственно

где wx и wy — массовые скорости в направлениях осей ох и оу. Заметим, что на рис. 4 не ограничиваем направление течения. Жидкость может притекать через грани 1 и 4 и вытекать через грани 2,3 или же притекать через

70

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts