Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

грани 1 и 2 и вытекать через грани 3,4. Также возможны и другие направления течения. Однако количество притекающей жидкости должно быть равно количеству вытекающей жидкости. Это объясняется тем, что рассматриваемая жидкость несжимаемая, т. е. в рассматриваемом объеме масса (плотность) жидкости не изменяется. Если, например, G1x = 7; G2x = 3 и Gl =5, то в силу несжимаемости жидкости со стороны 4 должно вытекать G2y =9. Другими словами,

Закон сохранения массы (см.(2.88)) показывает, что количество притекающей в данный объем жидкости равно количеству вытекающей из него жидкости. Выражения в скобках в формуле (2.88) всегда имеют разные знаки, причем здесь приводятся алгебраические значения G1x,G2x,G1y и G2y. В нашем примере G2y-G1y = 4, а G.2x - G1x =-4. Последнее замечание имеет место при любом варианте течения. Изменение количества жидкости в рассматриваемом прямоугольнике будет:

в направлении оси оу.

Во всех случаях течения несжимаемой жидкости GX и Gy будут иметь разные знаки и

Формула (2.91) получена с учетом того, что количество притекающей в рассматриваемый объем жидкости равно количеству вытекающей. Подставляя значения Gx и Gy из (2.89) и (2.90) в (2.91), получаем

wx x x, y wx x, y y wx x, y y wy x, y x 0 .

Разделив последнее выражение на x, y и перейдя к пределу приx 0, y 0 , получим

2 wx 2 wy 0 (2.92)

x2 y2

Формула (2.92) выражает закон сохранения массы и называется уравнением неразрывности (сплошности) при плоском течении несжимаемой

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

убывает, и по направлению ох больше притекает жидкости (через сечение 1), чем вытекает (через сечение 2), что может привести к накоплению жидкости. Поэтому из-за несжимаемости жидкости в направлении оу утечка жидкости должна быть больше ее притока. wy будет расти вдоль оу, т. е. значение

утечка жидкости в направлении ох должна компенсироваться ее притоком в

должно быть отрицательным. Наконец, рассмотрим течение несжимаемой жидкости в пространстве. Для этого возьмем параллелепипед (рис. 2.6), грани которого параллельны координатным плоскостям и имеют площади:

Sx y zSy x zSz x y

Рис.2.6

Количество жидкости, протекающей через грани взятого параллелепипеда, определяется по формулам:

72

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

где wz — массовая скорость в направлении оси z.

Изменение количества жидкости в рассматриваемом параллелепипеде будет в направлении осей x, y, z :

Gx G2x G1x wx x x, y, z wx x, y, z y z wx x, y, z y z

Gy G2 y G1y wy x, y y, z wy x, y, z x z wy x, y, z x z

Gz G2z G1z wz x, y, z z wz x, y, z y x wz x, y, z y x

Так как жидкость несжимаемая, то

В зависимости от направления движения две из этих величин будут иметь одинаковый знак, а третья величина — противоположный знак. В противном случае жидкость со всех сторон будет притекать в рассматриваемый объем, что физически невозможно из-за несжимаемости жидкости.

Подставив значения Gx , Gy , Gz в (2.93), разделив их соответственно на

Формула (2.94) выражает закон сохранения массы и называется уравнением неразрывности (сплошности) при пространственном течении несжимаемой жидкости. При получении уравнения (2.94) предполагается, что жидкость несжимаемая, т. е. масса (плотность) жидкости в рассматриваемом объеме не изменяется. Если в (2.94)

значения wx , wy имеют одинаковый знак, например положительный,

x y

то это означает, что в направлении ох и оу больше вытекает жидкости, чем притекает, так как в этом случае wx и wy возрастают. В связи с несжимаемостью жидкости эта утечка должна компенсироваться притоком в направлении oz. По направлению oz приток жидкости в рассматриваемый объем должен быть больше ее утечки из рассматриваемого объема, т. е.

73

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

отрицательным.

Если жидкость сжимаемая, т. е. плотность (и, следовательно, масса) жидкости может изменяться во времени, то изменение количества жидкости в рассматриваемом объеме приведет к изменению плотности (массы) жидкости в том же объеме. Так, например, для сжимаемой жидкости (см. рис. 3) wx x x,t wx x,t и за некоторый промежуток времени t разность, между

количествами притока жидкости в данный объем и утечки из него приведет к изменению плотности жидкости в рассматриваемом объеме. При этом если w x,t w x x,t , т. е. в данный объем больше притекает жидкости,

чем из него вытекает, то это приведет к увеличению плотности в данном объеме, если же w x,t w x x,t , то количество вытекающей из данного

объема жидкости больше количества притекающей в него жидкости, что и приведет к уменьшению плотности жидкости в данном объеме. Таким образом, если в течение некоторого промежутка времени t величина w x x,t w x,t 0 , то плотность в данном объеме возрастает, т. е.

x,t t x,t 0 ,

если же

Gx w x,t t w x,t 0 ,

то плотность в данном объеме убывает, т. е.

x,t t x,t 0 .

Следовательно, возрастание массовой скорости w (х, t) в данном объеме за некоторый промежуток времени t приводит к убыванию плотности жидкости в данном объеме, а убывание массовой скорости приводит к

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

т.е. на 2%

Теперь перейдем к получению математического выражения закона постоянства массы, т. е. к выводу уравнения неразрывности сжимаемой жидкости. Для одномерного движения жидкости (см. рис. 3) изменение количества жидкости Gx за некоторый промежуток времени t составит

где F — площадь поперечного сечения трубы.

Изменение же массы в рассматриваемом объеме V F x за тот же промежуток времени

Как было указано выше, Gx , M всегда будут иметь разные знаки.

Приравнивая правые части (2.95) и (2.96), получаем выражение закона постоянства массы

wx x x,t wx x,t F t x,t t x,t F x .

В результате деления последнего выражения на F x t при переходе к

75

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts